Función de pared susurrante

Question

Después de visitar el Susurro de la pared donde un susurro puede ser claramente de transmisión entre dos puntos en la superficie de un muro de contención a lo largo de más de 100 metros, yo estaba confundido en cuanto a cómo esto ocurre. Me decidí a tratar de resolver el siguiente problema: ¿Cuál debe ser la forma de una pared curva tal que cualquier sonido emitido hacia la pared de una esquina se reflejará directamente a la esquina opuesta, como en el siguiente diagrama (las coordenadas son $x$$y$)?

De esto deriva la siguiente ecuación diferencial (derivación a continuación), sino una miríada de sustituciones y cambios de variable tiene todavía me dejó perplejo cómo ponerlo en una forma que puede ser resuelto:

$$(y')^2++y'\left(\frac{a^2+y^2-x^2}{ay}\right)+\frac{x}{a}=0$$

para$-a<x<0$$y(\pm a)=0$$y'(0)=0$, pero no estoy seguro de que esto es correcto. Puede resolver esta ecuación o bien de encontrar un error en ella y encontrar la correcta ecuación a resolver mi problema geométrico?

Derivación (tenga en cuenta que a partir de las respuestas parece que este es ligeramente incorrecta): la adopción de los siguientes horrible pintura diagrama donde $D$ es el punto en el que la onda sonora se refleja y $AB$ es la tangente a la curva en ese punto, donde debemos tener los ángulos $BDC$ $ADF$ marcado $\theta$ son iguales desde una reflexión especular se supone que se produzca:

(Tenga en cuenta que esto es negativo para $x$ sólo $-x>0$; la línea vertical a través del máximo de la curva). Luego tomar el triángulo $DBC$ y dividir las longitudes de los lados por $a-x$ encontrar que (usando la relación entre la tangente y la derivada):

$$\theta=\arctan{y'}+\arctan{\frac{y}{a-x}}$$

Luego tomar el triángulo $ADE$ y dividir las longitudes por $y$ para obtener:

$$\theta=\arctan{\frac{1}{y'}}-\arctan{\frac{a+x}{y}}$$

La configuración de estos igualdad y teniendo en $\tan$ de ambos lados y usando la ley de la tangente de una suma de ángulos para obtener dos fracciones que me multiplica y, a continuación, la recopilación de términos que obtener la ecuación diferencial que se muestra arriba.

(Tenga en cuenta que los hechos interesantes acerca similares de paredes, lo que podría explicar mejor el Susurro de la pared yo originalmente mencionado se puede encontrar aquí, aquí y aquí, pero ahora estoy en busca de una solución a mi problema. Tampoco que la página de Wikipedia en mi primer enlace se menciona un "efecto parabólico', pero yo no podía ver lo que sería relevante para mi problema)

Answer 1

$$\arctan y'-\arctan \frac{y}{x-a}=\arctan \frac{y}{x+a}- \arctan y'$$ $$2\arctan y'=\arctan \frac{y}{x-a}+\arctan \frac{y}{x+a}$$ $$\frac{2y'}{1-y'^2}=\frac{\frac{y}{x-a}+\frac{y}{x+a}}{1-\frac{y^2}{x^2-a^2}}$$ $$\frac{2y'}{1-y'^2}=\frac{\frac{2xy}{x^2-a^2}}{\frac{x^2-a^2-y^2}{x^2-a^2}}$$ $$y'(x^2-y^2-a^2)=xy(1-y'^2)$$ $$y'^2+\frac{x^2-y^2-a^2}{xy}y'-1=0$$

Answer 2

Seguir a @Djura Marinkov la observación, la ecuación correcta es el estudio de \begin{equation} y'^2 + \frac{x^2 - y^2 - a^2}{x y} y' -1 = 0. \tag{1} \end{equation} Mediante la sustitución de $y(x)^2 = z(\eta(x))$ donde $\eta(x) = x^2$, obtenemos \begin{equation} z'^2 + \left(1-\frac{z+a^2}{\eta}\right) z' - \frac{z}{\eta} = 0, \tag{2} \end{equation} que se ve ligeramente más fácil que $(1)$, pero no mucho. Sin embargo, esto cambia cuando tomamos la derivada de $(2)$$\eta$: a continuación, obtenemos \begin{align} z'' =& \frac{-z(1+z') + z'(-a^2 + \eta(1+z'))}{\eta(-a^2+\eta-z+2 \eta z')}\\ =& \frac{z'^2 + \left(1-\frac{z+a^2}{\eta}\right)z'-\frac{z}{\eta}}{-a^2+\eta-z+2 \eta z'}\\ =& 0, \end{align} donde se utilizó $(2)$ para obtener la última línea. Por lo tanto, $z$ debe ser una función lineal, es decir, \begin{equation} y^2 = \alpha x^2 + \beta \tag{3}. \end{equation} Ahora puede sustituir a $(3)$ $(1)$ encontrar (una relación entre) $\alpha$$\beta$, en términos de $a$. Tenga en cuenta que esta respuesta refleja (sí) algunas propiedades útiles de elipses, ver aquí, aquí o aquí.