Demostrar que la intersección de subgrupos de índice finito tiene índice finito.

Question

Estoy probando este problema de Herstein:

P) Si G es un grupo y H, K son dos subgrupos de índice finito en G demuestre que H $\cap$ K es de índice finito en G. ¿Puedes encontrar un límite superior para el índice de H $\cap$ ¿K en Sol?

Mi intento:

$$\left [ G:H \right ]= \frac{|G|}{|H|} < \infty \wedge \left [ G:K \right ]= \frac{|G|}{|K|} < \infty $$ $$H\leq G \wedge K\leq G \rightarrow H\cap K\leq G$$ $$\left |H\cap K \right |=\frac{\left | H \right |\left | K \right |}{\left | HK \right |}\rightarrow\left [G:H\cap K \right ]=\frac{\left | G \right |\left | HK \right |}{\left | H \right |\left | K \right |}$$ $$HK\subseteq G\rightarrow \left |HK\right |\leq \left | G \right |\rightarrow\frac{\left |HK\right |}{|K|}\leq \frac{|G|}{|K|}< \infty$$ $$\rightarrow \left [G:H\cap K \right ]=\frac{\left | G \right |\left | HK \right |}{\left | H \right |\left | K \right |} \leq [G:H][G:K]<\infty$$

El problema parece estar en el 4º paso ya que $|HK|,|K|$ y $|G|$ son todos $\infty$ .

He encontrado otras soluciones a este problema en MSE que he entendido. Sólo quería saber si este enfoque tiene algún mérito.

Answer 1

$G$ actos en el plató $G/H\times G/K$ mediante la multiplicación por coordenadas, es decir, envía $g(xH,yK)\to (gxH,gyK)$ . Consideremos ahora el elemento $(H,K)$ . Entonces ${\rm stab}(H,K)=\{g\in G:gH=H,gK=K\}=H\cap K$ . Esto significa, por el teorema del estabilizador de la órbita, que $|G:H\cap K|=|\mathcal O(H,K)|$ la órbita de $(H,K)$ bajo la multiplicación por $G$ . Pero $H,K$ son de índice finito, por lo que esta órbita tiene un número finito de elementos. De hecho, hemos demostrado que $|G:H\cap K|\leqslant |G:H||G:K|$ incluso en el caso no sanitario.

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Estás escribiendo $|G:H|=|G|/|H|$ . Esto sólo tiene sentido si $G$ es finito, pero la pregunta, en tal caso, se responde fácilmente. Lo que es cierto, sin embargo, es que como números cardinales $|G:H||H|=|G|$ . Ver aquí para una prueba (correcta) que salve su argumento.