Identificar todos los holomorphic funciones $f$ tal que $|f(z)|=1$ cada $z$ $|z|=1$.

Question

Encontrar todos lo holomorphic funciones $f$ holomorfa sobre un conjunto abierto $G$ que contiene la unidad cerrada bola $\bar{\mathbb{D}}$ tal que $|f(z)|=1$ cada $z$ $|z|=1$.

Creo que las funciones son de la forma $f(z)=cz^n$ $n\geq 0$ y $|c|=1$. Estoy también buscando, si es posible, una solución que no hace uso del principio de reflexión de Schwarz.

Answer 1

Como adivinado en un comentario, tales funciones son exactamente productos de Blaschke (finitos). De hecho, las hipótesis implican que la función $f$ tiene finito muchos ceros en el disco de la unidad. Construir un producto Blaschke $B$ que tiene los mismos ceros con multiplicidades mismo. Sostienen que $f/B$ es una constante.