Mostrar que existe un morfismo plano finito

Question

Si $f \in k[x_1,...,x_n]$ es irreducible entonces mostrar que hay un morfismo plano finito $k[x1,...,x{n-1}] \to k[x_1,...,x_n]/(f)$ (es decir, $k[x1,...,x{n}]/(f)$ es finitamente generado y plana como un módulo sobre la imagen de este morfismo).

¿Sé que existe un morfismo finito por la normalización de Noether, pero por qué plano?

Answer 1

El truco (que no he logrado detectar cuando tuve que hacer esta pregunta en mis exámenes el año pasado) es recordar que la libertad de los módulos son planas.

Deje $A = k [x_1, \ldots x_{n-1}]$$B = k [x_1, \ldots, x_n] / (f (x_1, \ldots, x_n))$. Por la preparación lexema y un cambio de variables, podemos suponer que $f (x_1, \ldots, x_n)$ es de la forma $$f(x_1, \ldots, x_n) = a_d {x_n}^{d} + \sum_{i=0}^{d-1} a_i(x_1, \ldots, x_{n-1}) {x_n}^i$$ donde$a_d$$k$$a_i(x_1, \ldots, x_{n-1})$$A$. Es claro que un elemento de $B$ siempre puede ser escrito como $$\sum_{i=0}^{d-1} c_i (x_1, \ldots, x_{n-1}) {x_n}^i \pmod{f (x_1, \ldots, x_n)}$$ para algunos $c_i (x_1, \ldots x_{n-1})$$A$; por lo tanto, no es un surjective $A$-módulo homomorphism $p : A^{\oplus d} \to B$, y, en particular, $B$ es finita $A$-módulo. Considere la posibilidad de $\ker p$: supongamos que para $0 \le i < d$ tenemos elementos $c_i (x_1, \ldots x_{n-1})$$A$, de tal manera que $$\sum_{i=0}^{d-1} c_i (x_1, \ldots, x_{n-1}) {x_n}^i = g(x_1, \ldots, x_n) f(x_1, \ldots, x_n)$$ para algunos $g(x_1, \ldots, x_n)$$k [x_1, \ldots, x_n]$. Considerando el coeficiente de la potencia más alta de $x_n$$g (x_1, \ldots, x_n)$, podemos ver que $g = 0$. Así en el hecho de $\ker p = 0$, lo $A^{\oplus d} \cong B$; en particular, $B$ es un plano $A$-módulo.

Tenga en cuenta que no necesitamos suponer que $f (x_1, \ldots, x_n)$ es irreductible.