Encontrar la probabilidad de monedas sesgadas

Question

Hay dos monedas sesgadas A y B. Se nos ha dado la siguiente:

P(H| A la moneda) = 0.9
P(T| A la moneda) = 0.1
P(H| Moneda B) = 0.1
P(T| Moneda B) = 0.9

También nos da esa probabilidad de que lanzar monedas A o B de monedas al azar es de 0,5

¿Cómo podríamos encontrar la probabilidad de "sorteo 11 = cabeza", ya que tenemos 10 cabezas en una fila?

Answer 1

Dado que tenemos moneda A, la probabilidad de que lanzar 10 cabezas en una fila es $0.9^{10}$; Dado que tenemos moneda B, la probabilidad de que lanzar 10 cabezas en una fila es $0.1^{10}$. Usando la regla de Bayes tenemos

$$P(A|10H)=\frac{P(A)P(10H|A)}{P(10H)}=\frac{0.5\cdot 0.9^{10}}{0.5\cdot 0.1^{10}+0.5\cdot 0.9^{10}}=\frac{0.9^{10}}{0.1^{10}+0.9^{10}}$$

$$P(B|10H)=\frac{P(B)P(10H|B)}{P(10H)}=\frac{0.5\cdot 0.1^{10}}{0.5\cdot 0.1^{10}+0.5\cdot 0.9^{10}}=\frac{0.1^{10}}{0.1^{10}+0.9^{10}}$$

Es el % de probabilidad $P$que el lanzamiento de 11 cabezas dadas 10 lanzamientos anteriores eran cabezas

$$P=P(A|10H)\cdot 0.9 + P(B|10H)\cdot 0.1$$