Cómo ' rango s de la A es 1

Question

<blockquote> <p>Que $X, Y$ $\mathbb{R}^n$ ser sin cero vectores de columna. Encontrar rango de $A=X\,{}Y^t$ $Y^t$ Dónde está transpuesta de $Y$.</p> </blockquote> <p>En mi libro se menciona que "cada fila de $A$ será un múltiplo de la fila vector $Y^t$. Así que la fila es $1$."</p> <p>¿Puede alguien explicarlo a mí, por favor?</p>

Answer 1

Si $X=\begin{pmatrix} x_1\x_2\\vdots\x_n\end{pmatrix}$ y $Y=\begin{pmatrix} y_1\y_2\\vdots\y_n\end{pmatrix}$ y $$A=X^tY=\begin{pmatrix} x_1y_1 &x_1y_2&\cdots& x_1y_n\x_2y_1&x_2y_2&\cdots&x_2y_n\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\x_ny_1&x_ny_2&\cdots&x_ny_n \end{pmatrix}.$$ As you can see, the rows of this matrix are scalar multiples of the row vector $ ^ tY $, that is, there is only one linearly independent row of $A $ (not all rows are zero because $X $ and $Y $ are nonzero columns). So rank of $A$ es uno.

Answer 2

Si $A$ y $B$ son matrices que $AB$ tiene sentido, entonces $$ \operatorname{rk}(AB)\le\operatorname{rk}(A) \quad\text{and}\quad \operatorname{rk}(AB)\le\operatorname{rk}(B) $$ columna distinto de cero vectores tienen rango $1$, $X\,{^t}Y$ tiene la fila más $1$ .

¿Puede tener rango $0$?

Answer 3

O: Cada $v$, tenemos que $Av= XY'v=X\cdot\langle Y,v\rangle$ es un múltiplo de $X$ (y no cero conveniente $v$, por ejemplo, $v=Y$), por lo tanto el rango es una dimansional.