Encuentre todos los enteros n de forma tal que el cuadrático$5x^2 + nx – 13$ se pueda expresar como el producto de dos factores lineales con coeficientes enteros.

Question

Estoy seguro de cómo abordar este problema. He pensado sobre el uso Racional de la raíz teorema, pero no estoy seguro de si esto contesta a la pregunta.

Utilizando el teorema de, I se $\frac{p}{q} = \pm 1, \pm 13, \pm \frac{1}{5}$, e $\pm \frac{13}{5}$ posible raíces. Entonces puedo usar la división sintética y de Horner método para obtener un resto de $-(n+8)$. Para que esto sea una solución, $-(n+8)=0$, lo $n = -8$. Entonces yo podría hacer esto para $+1, +13, -13,$ etc.

Es este el enfoque correcto para responder a la pregunta original? Pregunta Original:

Encontrar todos los enteros $n$ de manera tal que la cuadrática $5x^2 + nx – 13$ puede ser expresado como el producto de dos factores lineales con coeficientes enteros.

¿Por qué necesito tener una raíz racional a la respuesta del problema? No habría soluciones complejas donde puedo expresar $5x^2 + nx - 13$ (donde n es un entero) como producto de dos factores lineales con coeficientes enteros?

Agradezco enormemente cualquier visión que podría aportar en esto. Ha sido alrededor de 2 años desde que me he hecho ninguna de las matemáticas (una breve incursión en la Neurociencia se convirtió en una más de la expedición de la intención) y estoy deseando volver a el hermoso reino de las matemáticas. Gracias por su tiempo en la lectura a través de este revuelto pensamiento matemático!

Answer 1

Más simplemente, tenga en cuenta que$5$ es primo, por lo que los factores lineales tienen que tener coeficientes de$x$ como$1$ y$5$ (o$-1$ y$-5$).

Entonces, tienes$(x-r)(5x-s) = 5 x^2 -nx -13$ para enteros$r,s$. FOILING el lado izquierdo da$5x^2 - (5r+s) x + rs$, entonces$rs=-13$ y$5r+s=n$. Como$13$ es primo, debemos tener$r=-1,s=13$ o$r=1,s=-13$ para cumplir con la restricción que$rs=-13$. Luego puede conectarlos y buscar$n$.

Puede hacer lo mismo con$(-x -r) (-5x-s) = 5 x^2 -nx -13$ para obtener el otro caso.

Answer 2

Queremos encontrar$n$ tal que$f(x) = 5x^2 +nx -13$ es un producto de dos términos lineales con coeficientes enteros. Ahora permite$f(x)=(ax+b)(cx+d) = acx^2 +(ad+bc)x +bd $ con$a,b,c,d$ entero. Entonces $ ac = 5, bd = -13, ad + bc = n$. So $ (a, c) = (5,1), (- 5, -1)$ and $ (b, d) = (13, -1), (- 13,1)$. This implies $ n = ad + bc$ can be $ \ pm 64, \ pm 8 $

Answer 3

Esto se puede hacer si y solo si$5x^2+nx-13$ es una diferencia de dos cuadrados. $$5x^2+nx-13=\frac15(25x^2+5nx+\left(\frac{n}{2}\right)^2)-(13+\frac{n^2}{4})$$ $$5x^2+nx-13=\frac15(5x+\frac{n}{2})^2-\frac14(n^2+52).$$ Therefore, there should be an integer $ m$ such that $$n^2+52=5m^2.$ $ Creo que esto te ayudará. Continúa desde aquí.

Answer 4

Si un polinomio cuadrático $ax^2 + bx + c$ con coeficientes enteros, $a \neq 0$, ha factorización $$ax^2 + bx + c = (rx + s)(tx + u) \tag{1}$$ entonces \begin{align*} a & = rt\\ b & = ru + st\\ c & = su \end{align*} que puede ser demostrado mediante la sustitución de $0$, $1$, y $-1$ en la ecuación 1, luego resolver el sistema resultante de ecuaciones. Tenga en cuenta que$ac = (rt)(su) = rstu = (ru)(st)$, $b$ es la suma de dos números enteros cuyo producto es $ac$.

Para la ecuación de $5x^2 + nx - 13$, esto significa que $n$ es la suma de dos números enteros con el producto $5 \cdot -13 = -65$. Desde \begin{align*} -65 & = 1 \cdot -65 & -65 & = -1 \cdot 65\\ & = 5 \cdot -13 & & = -5 \cdot 13 \end{align*} los posibles valores enteros de a $n$ \begin{align*} 1 + (-65) & = -64 & -1 + 65 & = 64\\ 5 + (-13) & = -8 & -5 + 13 & = 8 \end{align*}