Comparando sumas con cuadrados

Question

Necesito mostrar que:

$ {\sum\limits{i=1}^n {| x |}} \leq \sqrt{n\sum\limits{i=1}^n | x | ^ 2} $

Probé a ambos lados de la Plaza así que me gustaría conseguir:

$$ \left({\sum\limits{i=1}^n {|x|}} \right)^2 = \left (\sum {i = 1} ^ {N} | xi | ^ 2 +2 * \sum {i, j, i j} | x_i || xj | \right) \leq n\sum\limits {i = 1} ^ n | x | ^ 2 $$

pero simplemente no parece funcionar...

Sé que en ambos lados tenemos elementos de $n^2$, no sé cómo compararlas.

Answer 1

Asegúrese de que usted no tiene una errata, y que copió correctamente la pregunta. Sospecho que usted necesita para trabajar con las siguientes:

$$\left(\sum_{i=1}^n|x_i|\right)^2 \le n \sum_{i=1}^n|x_i|^2.$$

Ahora, a cada lado de la desigualdad ha $n^2$ términos.

Usted puede utilizar el Cauchy-Schwarz Desigualdad. Como se aplica al espacio Euclidiano $\mathbb{R}^n$:

$$\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 \le \left(\sum_{i=1}^nx_i^2 \right)\left(\sum_{i=1}^n y_i^2 \right) $$

Para tu problema, $$\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n x_i\cdot 1\right)^2$$

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Alternativamente, si usted tiene la siguiente desigualdad para probar: $$\left(\sum_{i=1}^n|x_i|\right) \le \sqrt{n \sum_{i=1}^n|x_i|^2}.$$

Luego, simplemente cuadrado ambos lados de esta desigualdad para obtener la desigualdad en la parte superior, y proceder como se sugiere.

Answer 2

Debido a que $x^2$ es una función convexa, la desigualdad de Jensen dice $$ \left(\frac1n\sum_{k=1}^nxk\right) ^ 2\le\frac1n\sum {k = 1} ^ nxk ^ 2 multiplicando $$ $n^2$ rinde $$ \left(\sum{k=1}^nxk\right) ^ 2\le n\sum {k = 1} ^ nxk ^ 2 $$ tomando la Plaza raíz da $$ \sum{k=1}^nxk\le\sqrt{n\sum{k=1}^nx_k^2} $$