¿Qué significa que el CMBR es mayoritariamente gaussiano? ¿Qué son las no gaussianidades en el CMBR? ¿Cómo la evaluación de las funciones de correlación de 3 puntos del campo inflatón nos indica que hay no gaussianidad?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El significado físico de la gaussianidad es que el CMBR es lo más aleatorio posible, sin ninguna correlación entre las componentes de fourier independientes del campo de fluctuación. Cada modo de fourier de las perturbaciones inflacionarias que dieron lugar a la anisotropía del CMBR evolucionó como osciladores armónicos independientes no acoplados (aunque con una frecuencia dependiente del tiempo).
Gaussianidad de cualquier variable cosmológica $g(\textbf{x})$ (por ejemplo, la perturbación del campo escalar $\delta\phi(\textbf{x})$ o la densidad $\rho(\textbf{x})$ ) está definida por la estructura del correlacionador de dos puntos. Si tiene la forma $$\langle g_{\textbf{k}}g_{\textbf{k'}}\rangle=(2\pi)^3\delta^3_{\textbf{k}+\textbf{k'}}P_g(k)$$ entonces $g(\textbf{x})$ se dice que es gaussiano, donde también hemos asumido isotropía para que el espectro de potencia dependa sólo de la magnitud $k$ . (La homogeneidad significa que $\langle g_{\textbf{k}}\rangle=0$ ). El correlacionador de 3 puntos (y todos los correlacionadores de puntos Impares) desaparecen. Esta es la mínima correlación posible que se puede tener en un campo estocástico. Se puede tener cualquier forma para el espectro de potencia $P_g(k)$ aunque la inflación predice un espectro casi invariante de escala, que depende muy débilmente de $k$ .
Si te preguntas dónde está la "gaussianidad", se puede demostrar que la distribución de probabilidad para $g(\textbf{x})$ en un punto determinado sigue realmente una gaussiana exacta: $$\textbf{P}(g)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}}\exp{(-\frac{g^2}{2\sigma^2})}$$ Así, para cosas como el campo escalar, la densidad y la curvatura, lo más probable es que la desviación sea cero y que las fluctuaciones más altas se supriman exponencialmente.
Puedes empezar a introducir correlaciones adicionales a través del correlador de 3 puntos haciéndolo distinto de cero y entonces habrás destruido la estructura gaussiana de $\textbf{P}(g)$ arriba, de ahí que se llame no gaussianidad. Estas desviaciones son predichas por algunos modelos de inflación, pero hasta ahora no se ha observado ninguna. Pronto se empezarán a obtener restricciones más estrictas sobre los parámetros cosmológicos a partir de experimentos como el de Planck.
El capítulo 6 de la obra de Lyth y Liddle Perturbación de la densidad primordial es una buena referencia para esto.
Matt Solnit
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( Actualizado el 27 de abril para ampliar y justificar algunos puntos en respuesta a los comentarios).
La respuesta de @dbrane transmite correctamente gran parte del sabor del tema, pero siento decir que no es correcta en los detalles. Como aquí hay mucho espacio para la confusión, voy a dedicar bastante tiempo a las matemáticas antes de decir nada sobre la física o la cosmología. Lo siento. Siéntase libre de saltar hasta el final si lo desea.
Las matemáticas.
La definición de gaussiano en este contexto es la siguiente:
Una función $g$ es gaussiano si el $n$ -tupla $(g({\bf x}_1),g({\bf x}_2),\ldots,g({\bf x}_n))$ se extrae de un $n$ -gaussiana de dimensiones para todos los $n$ y para todas las opciones de ${\bf x}_i$ .
Es decir, si se observa un punto cualquiera, el valor de ese punto se extrae de una distribución gaussiana. Si se observan dos puntos cualesquiera, los valores se extraen de una distribución gaussiana bivariada (posiblemente con correlaciones), etc. Lo anterior es mi redacción, pero es equivalente a lo que se encuentra en otros lugares, por ejemplo, Wikipedia .
Esta definición es un poco bocazas, pero no hay mucho que pueda hacer al respecto: ¡es lo que hay!
Antes de profundizar en el tema, conviene definir un término adicional, estadísticamente homogéneo campos aleatorios. Esto sólo significa que las propiedades estadísticas no cambian si se deslizan todos los puntos en una cantidad determinada. Por ejemplo, el valor medio $\langle g({\bf x})\rangle$ es independiente de ${\bf x}$ (y de hecho también lo es $\langle g({\bf x})^k\rangle$ para cualquier $k$ ). Además, $\langle g({\bf x}_1)g({\bf x}_2)\rangle$ depende sólo de la diferencia ${\bf x}_1-{\bf x}_2$ y así sucesivamente. A menudo suponemos que los campos de la cosmología tienen esta propiedad, porque pensamos que, en promedio, el Universo es igual en todas partes.
Además, a menudo asumimos que las propiedades estadísticas son invariantes bajo la rotación - por ejemplo, las correlaciones de dos puntos dependen sólo de la magnitud de ${\bf x}_1-{\bf x}_2$ y no en su dirección. Esta última propiedad se denomina isotropía estadística .
Durante el próximo rato, voy a centrarme en puntos matemáticos que no dependen realmente de cuántas dimensiones espaciales tengamos, así que para simplificar trabajaré sólo en una dimensión. En ese caso, por supuesto, no existe la isotropía. (Por cierto, también voy a empezar a abreviar "homogeneidad estadística" como simplemente "homogeneidad").
Antes de continuar, permítanme señalar explícitamente que la gaussianidad y la homogeneidad estadística son propiedades independientes: ninguna de ellas implica la otra. Por ejemplo, supongamos que $g$ es gaussiano y homogéneo, y definir otro campo aleatorio $h$ al establecer $h(x)=[g(x)]^2$ . Entonces $h$ es homogénea pero no gaussiana. (Por ejemplo, la FDP en cualquier punto no es gaussiana). Por otro lado, si definimos $h(x)=xg(x)$ entonces $h$ es gaussiano pero no homogéneo. (Por ejemplo, la varianza $\langle h(x)^2\rangle$ depende de $x$ .)
La bonita propiedad que menciona dbrane, a saber, que el Transformación de Fourier de $g$ no tiene ninguna correlación, $$ \langle \tilde g({k_1})\tilde g({k}_2)\rangle=P_g({k}_1)\delta({k}_1+{k}_2), $$ es en realidad una consecuencia de homogeneidad no Gaussianidad . (Esta propiedad significa que cada modo de Fourier $\tilde g({k})$ no está correlacionado con los demás).
En realidad, esto no es difícil de probar. La clave es pensar en las correlaciones entre dos puntos $x$ y $x+y$ : $\langle g(x)g(x+y)\rangle$ . Escribir los dos $g$ como integrales de Fourier, tenemos $$ \langle g(x)g(x+y)\rangle= \int\int\langle\tilde g(k_1)\tilde g(k_2)\rangle e^{i(k_1+k_2)x}e^{ik_2y}\,dk_1\,dk_2. $$ Permítanme llamar a la cantidad de la izquierda $G(x,y)$ . Esta ecuación muestra que la transformada de Fourier de $G$ con respecto a ambas variables viene dada por $$ \tilde G(k_1+k_2,k_2)=\langle \tilde g(k_1)\tilde g(k_2)\rangle. $$ La homogeneidad implica que $G$ depende sólo de $y$ no $x$ Así que $\tilde G(q,q')=0$ para todos $q\ne 0$ . Por lo tanto, $\langle\tilde g(k_1)\tilde g(k_2)\rangle$ es distinto de cero sólo para $k_1+k_2=0$ . Eso demuestra el resultado deseado.
Si tienes la suerte de tener ambos homogeneidad y gaussianidad, entonces el "espectro de potencia" $P_g$ es una descripción completa de las propiedades estadísticas de $g$ . Pero hay que asume Gaussianidad en ese argumento; no se deduce de la suposición de modos de Fourier no correlacionados. Los modelos cosmológicos más sencillos predicen tanto la homogeneidad como la gaussianidad, por lo que la gente suele olvidar qué propiedades útiles se derivan de una en contraposición a la otra.
Digresión: Otras definiciones encontradas en la literatura.
En los comentarios, un par de personas han señalado citas de cosmólogos muy respetados (Liddle & Lyth, Komatsu) que contradicen lo que dije y definir Gaussianidad como modos de Fourier no correlacionados. Esta gente son grandes cosmólogos, pero están equivocados en esto. Supongo que no puedo esperar que creas en mi palabra, así que déjame intentar convencerte de un par de maneras.
En primer lugar, permítanme señalar que los procesos aleatorios gaussianos y los campos aleatorios gaussianos existen en muchas áreas de las matemáticas aplicadas, y la definición que he dado es totalmente estándar en todas partes. (En caso de que te lo preguntes, uno tiende a decir "proceso" en una dimensión, especialmente cuando quieres pensar en esa dimensión como tiempo, y "campo" en 2 o más dimensiones). Wikipedia lo confirma, al igual que un montón de otros fuentes .
Por supuesto, a veces la gente de una disciplina utiliza un término de forma diferente a la gente de las demás disciplinas. ¿Quizás los cosmólogos lo estén haciendo aquí? Resulta que no es el caso. Por ejemplo, este documento es uno de los que inició toda la idea de considerar la gaussianidad en cosmología, y utiliza la definición estándar. Tal vez sea aún más convincente el hecho de que la principal forma de no gaussianidad que los cosmólogos tratan de probar estos días se llama la no gaussianidad local que se define como $$ \Phi({\bf x})=\phi({\bf x})+f_{NL}(\phi({\bf x})-\langle\phi\rangle)^2. $$ Aquí $f_{NL}$ es una constante, $\phi$ es un campo aleatorio gaussiano homogéneo, y $\Phi$ es el campo físico a medir. El campo $\Phi$ tiene modos de Fourier no correlacionados (por la prueba que di anteriormente). Así que si "modos de Fourier no correlacionados" fuera la definición de gaussianidad, entonces este campo sería gaussiano. Pero si hablas con los cosmólogos que trabajan en este campo, verás que todos saben que este campo no es gaussiano, de hecho, se considera el arquetipo mismo de la no gaussianidad. (Aquí está un ejemplo de los muchos que podría haber elegido).
Por cierto, el error que han cometido estas personas es bastante común. Creo que hay varias razones. La principal es que la hipótesis de modos de Fourier no correlacionados sí implica una gaussianidad aproximada por una especie de argumento del teorema central del límite, si se cumplen algunos supuestos adicionales. Esencialmente, las cantidades que se calculan tienen que tener contribuciones comparativamente grandes de muchos modos de Fourier diferentes, de modo que las no gaussianidades se "desvanezcan". Antiguamente, la gente estaba dispuesta a hacer esta suposición, pero cuando se trata de medir la no gaussianidad, éste es precisamente el nivel de aproximación que se necesita. no que se le permite hacer.
Otra razón es que todo el mundo aprende muy bien la imagen "estándar" (homogénea, isotrópica, gaussiana) de las perturbaciones cosmológicas, y luego olvidan qué propiedades de la imagen estándar dependen de cada una de las hipótesis. Y, por supuesto, una vez que algo se afirma incorrectamente en alguna parte, se propaga.
La física.
En cuanto a la física, el punto principal es que algunos modelos teóricos estándar, como la inflación, predicen que el CMB (entre otros observables) debería ser gaussiano, así como homogéneo e isotrópico. Si esto es cierto, entonces el espectro de potencia , a la que llamé $P_g(k)$ es una descripción completa de las propiedades estadísticas del campo. Para definir una distribución gaussiana, basta con especificar sus dos primeros momentos, es decir, la media y las varianzas y covarianzas. La media es cero (sobre todo porque la definimos así: los observables son fluctuaciones en torno a la media). Con estas suposiciones, no hay correlaciones en el espacio de Fourier, así que todo lo que queda son las varianzas de los modos de Fourier. Eso es el espectro de potencia.
Algunos modelos cosmológicos un poco más exóticos (versiones más sofisticadas de la inflación, así como modelos no inflacionarios) predicen la no gaussianidad. Una de las formas que podría adoptar son las correlaciones de tercer orden no nulas: cosas de la forma $\langle g({\bf x}_1)g({\bf x}_2)g({\bf x}_3)\rangle$ debería ser cero en una teoría gaussiana pero no en una no gaussiana. Esa es la razón por la que la gente busca correlaciones de 3 puntos. Si las buscas en el espacio de posición, llamas a lo que intentas medir la "función de correlación de 3 puntos". Si tratas de medirla en el espacio de Fourier, la llamas "biespectro".
Pero incluso si no hay correlaciones de tres puntos, las cosas podrían seguir siendo no gaussianas. La gaussianidad es un conjunto muy específico de propiedades matemáticas, y hay infinitas maneras de ser no gaussiano. Como resultado, hay toneladas de pruebas propuestas para la no gaussianidad, todas ellas buscando cosas completamente diferentes. Por ejemplo, una forma de no gaussianidad que fuera simétrica bajo un cambio de signo (las propiedades estadísticas de $-g$ son los mismos que los de $g$ ) no tendría correlaciones de 3 puntos, pero podría seguir siendo no gaussiano. Se podría buscar eso buscando correlaciones de 4º orden, aunque en algún momento pensar en las cosas en términos de estas correlaciones no es la mejor manera de hacerlo.
Como resultado, hay una desconcertante variedad de pruebas completamente diferentes que la gente utiliza. Por citar un ejemplo más o menos aleatorio, la gente calcula el Funcionales de Minkowski de los conjuntos de excursión en los mapas del CMB. La conexión entre los funcionales de Minkowski y la no gaussianidad no es obvia, pero el punto es sólo que en un proceso gaussiano se pueden predecir varias propiedades de los funcionales, y si las observaciones dan respuestas diferentes, eso es no gaussianidad.
