¿Creación de una serie que salta cada término de $n^\text{th}$?

Question

Quiero escribir una función utilizando la notación de la sigma que podría representar un número arbitrario de términos de, por ejemplo, $1+2+4+5+7+8+10+11+13\ldots$, saltando cada tercer mandato. Creo que uno tendría funciones como piso y mod, pero no estoy seguro.

Answer 1

Esto es lo que quieres.

Answer 2

Para obtener un patrón periódico como "multiplicar por 1, multiplique por 1, multiplique por 0", se puede explotar de una función periódica como coseno: $$\sum_{k=1}^nk*\frac{2-2\cos(2\pi k/3)}3$$ Esta es la suma hasta el $n$ donde cada tercer término es cero. El número de términos es distinto de cero $\lfloor2(n+1)/3\rfloor$ donde yo estoy usando la función del suelo.

Para otros la discusión de trucos/notación para el periódico de secuencias, consulte esta respuesta.

Answer 3

Ok, malinterpreté tu pregunta originalmente. Por un lado, puede definir una función$f\colon \Bbb N \to \Bbb R$ donde$f(1)=1$,$f(2)=2$ y$f(n)=f(n-2)+3$.

$f(3)=f(1)+3=4$

$f(4)=f(2)+3=5$

$f(6)=f(3)+3=7.$

Esta es una función bien definida, aunque es posible que esté buscando algo que no use inducción para poder programarlo en una computadora.

Answer 4

Si $n=3K+p $ $0\le p

Lo es

$$\sum{i=1}^ni -3\sum{i=1}^K i $$

$$=\frac {n (n+1)}{2}-3\frac{K (K+1)}{2} $$

$$=\frac {1}{2}\Bigl ( n^2-3K^2+p\Bigr) $$

Answer 5

Observe que dividir la serie en dos grupos da$(1+2) + (4+5) + (7+8)\cdots$, que también es$3 + 9 + 15\cdots$ o$3(1 + 3 + 5\cdots)$.

Como la suma de números impares consecutivos es$k^2$, cuando la serie finaliza en un número par de términos, la suma es$3 (n/2)^2$. Para un número impar de términos, puede modificar la suma restando el último término, por lo que la suma se puede representar como$(3(n/2)^2) - n-1$.

En esta secuencia,$n$ es la cantidad de términos redondeados a un número par, y$n$ tiene que ser un entero>$1$.