No recuerdo haber hecho nunca una prueba como esta analíticamente, por lo que agradecería tu Consejo. Esto es lo que hice y parece ser un enfoque correcto, pero podría ser mejor.
Que $x:=\frac{1}{2}-\varepsilon$ $\$ (para $0\frac{1}{2}-\varepsilon=x$.
Sí, la prueba está bien.
Una versión diferente, Note que
$$x^2 - x + \frac 1 4 = \left(x - \frac 1 2\right)^2 \ge 0$ $ y la igualdad se obtiene si y sólo si $x = 1/2$, que no está en el dominio.
Para una prueba todavía diferente, observe que el lado izquierdo es dos veces la media aritmética de $x^2$ y $1/4$. El lado derecho es dos veces la media geométrica (al menos cuando $x \ge 0$). Cuando $ x
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