¿Lazo noncontractible en $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$?

Question

Es bien sabido que el $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$ se conecta simplemente a la Mentira de grupo. Sin embargo, me parece que ser capaz de pensar en un bucle que no contráctiles. Donde podría mi error?

Deje $g(t) = \operatorname{diag}(e^{it},e^{-it})$ ser definidas a partir de $0$$2\pi$. Es un bucle basado en la identidad, y sus autovalores traza dos bucles alrededor del perforado plano complejo $\mathbb{C}\setminus\{0\}$. Deformación de este bucle para la constante de bucle en la identidad de inducir a los autovalor de los bucles de contrato para la constante de bucle en $1$. Pero esto es imposible debido a la punción en el plano complejo. (Los autovalores nunca puede ser cero, porque la deformación debe permanecer en $\operatorname{SL}(2,\mathbb{C})$.)

Edit: Por una respuesta, por favor, estado explícito, contracción, que es la única forma de aclarar mis dudas por completo.

Answer 1

Escribir

$$ D(t)=\begin{bmatrix} \exp(it) & 0 \\ 0 & \exp(-it)\end{bmatrix}, \quad C(s)=\begin{bmatrix} \cos(s) & -\sin(s) \\ \sin(s) & \phantom{-}\cos(s) \end{bmatrix}. $$

Definir

$$ H(t,s)=\begin{cases} D(t) & 0\le t\le \pi \\ C(s)D(t)C(s)^{-1} & \pi\le t\le 2\pi.\end{cases} $$

para $0\le s\le\pi/2$. Observar que $H(t,0)=D(t)$ todos los $t$, mientras que de $H(t,\pi/2)$ traza un semicírculo para $0\le t\le \pi$ y luego retrocede para $\pi\le t\le 2\pi$. Así tenemos homotoped $D(t)$ a un más obviamente contráctiles bucle.

Tenga en cuenta que la conjugación de no afectar el espectro, así que no pasa nada a que a lo largo del camino. Como los otros han dicho, la forma de interpretar el espectro es como dos autovalores alejando de la $1$ sobre el círculo unidad en direcciones opuestas, a continuación, en lugar de pasar por cada uno de los otros interpretan como rebotando de uno a otro en la $-1$. Este bucle (en el espacio de configuración) es claramente contráctiles.

Si usted quiere entender de donde conseguí el ejemplo, me puede explicar que es demasiado, pero requiere de algunos conocimientos en cuaterniones. (A pesar de todos los antecedentes que pueden decirnos los últimos puestos de la mina que puedo enlace si es necesario.)

Esto también tiene una interpretación visual. Si interpretamos $\mathrm{SU}(2)$ $\mathrm{Spin}(3)$ (el doble de la cubierta de $\mathrm{SO}(3)$), luego esta copia de $S^1$ $\mathrm{Spin}(3)$ doble cubre una copia de $S^1$$\mathrm{SO}(3)$. Visualizar esto como dos rotaciones alrededor de un eje en tres dimensiones. Podemos poco a poco en "editar" este "animación" mediante la rotación del eje durante la segunda revolución hasta que el eje está al revés - rotación alrededor del eje al revés va hacia atrás. Este es esencialmente equivalente a la de la placa de truco.

Answer 2

Sospecho que el error tiene que ver con implícitamente el pensamiento de los autovalores como un "par ordenado" en lugar de como una desordenada par de números complejos.

De hecho, el espacio de pares no ordenados de números complejos que se multiplican a 1 es natural en correspondencia con el espacio de polinomios cuadráticos de la forma$x^2+cx+1$$c \in \mathbb C$, sólo homeomórficos a $\mathbb C$ sí.

Por supuesto, eso es sólo un espacio que $\operatorname{SL}_2(\mathbb C)$ surjects a, por lo que no produce una respuesta directa a cómo contrato el bucle. Lo que creo que hace es explicar por qué su intuición es defectuoso.

Answer 3

Para ampliar Dustan Levenstein la respuesta, tenga en cuenta que debido a que los valores propios son desordenadas, no tenemos que tratar a los valores propios como la formación de dos bucles alrededor del origen. En $t=0$, los valores comienzan en 1. Entonces los autovalores se mueven en direcciones opuestas (uno a la derecha y uno a la izquierda) hasta que, a $t=\pi$, ambas están a -1. Ahora, debido a que los valores propios son desordenadas, a continuación, en lugar de completar dos bucles, ambos autovalores puede volver a 1 utilizando la ruta de acceso que ellos comenzaron. Ahora no hay bucles, y la contradicción es evitado.