Colectores de encolado con límites y el teorema de Seifert-Van Kampen

Question

He visto muchas veces la consecuencia de la aplicación de la SVK teorema:

Deje $M$ $N$ dos liso $n$-colectores ($n\ge 3$) con límite y supongamos que tienen el mismo límite de $B$. Ahora, después de encolado $M$ $N$ a lo largo de $B$ obtenemos: $$X=M\cup_{B} N$$ En este punto podemos aplicar la SVK a la triple $M$, $N$, $M\cap N=B$ con el fin de calcular el grupo fundamental de la $X$.

---

El problema es que $M$, $N$ y $B$ son, en general, no se abre en $X$ (una vez que se pegan juntos). Por otro lado sabemos que la apertura condición es necesaria en la prueba de SVK teorema.

Answer 1

Deje $M$ ser suave, un manifold con frontera. Un barrio de $\partial M$ se llama un collar de barrio si es la imagen de un suave incrustación $[0, 1)\times\partial M \to M$ que se limita a la identificación de $\{0\}\times\partial M \to \partial M$.

Cada liso colector de vacío límite tiene un collar de barrio - ver Lee la Introducción a la Suave Colectores (segunda edición), Teorema $9.25$.

Como $B$ es el límite de $M$, tiene un collar de vecindad $C \subset M$ y $B$ es el límite de $N$, tiene un collar de vecindad $D \subset N$. A continuación, $C\cup D$ convierte en una vecindad de a$B$$X = M\cup_B N$. Además, $C\cup D$ deformación se retrae en $B$, lo $\pi_1(C\cup D, b_0) \cong \pi_1(B, b_0)$ todos los $b_0 \in B$.

Así que realmente queremos aplicar el Seifert-van Kampen el Teorema de los siguientes bloques abiertos de $X$: $M\cup D$ (que la deformación se retrae a $M$), $C\cup N$ (que la deformación se retrae a $N$), y $C\cup D$ (que la deformación se retrae a $B$).

Nota, no importa que el collar de los barrios de la tomamos como la base fundamental de los grupos de la resultante de abrir conjuntos es independiente de $C$$D$.