No entender una regla de sustitución específica

Question

Recibí la pregunta,

Si $f(3x+5) = x^2-1$, ¿qué es $f(2)$? Estoy tratando de entender el razonamiento de por qué se establece igual a $3x+5$ $2$.

Answer 1

Este problema es algo de un "truco".

Si usted sabía una fórmula para $f(x)$, sólo podía sustituto $2$ $x$ para obtener la respuesta directamente. Sin embargo, ellos no hacen que sea fácil-sólo se conoce una fórmula para $f(3x+5)$. Eso significa que usted tiene que averiguar qué usar para $x$ para tener la expresión que esté conectado a $f$ evaluar a $2$ (de modo que usted todavía computing $f(2)$ como se desee): $$f(\;\overbrace{3x+5}^{\textrm{what makes this }2?}\;)$$

Por lo que usted necesita para encontrar $x$ tal que $3x+5=2$, es decir, solucionar $3x+5=2$$x$. Hacer esto le da a $x=-1$. A continuación, sustituir ese valor ( $-1$ ) $x$ para obtener

$$f(3(-1)+5 ) = (-1)^2-1$$ $$f(2) = 0$$

Answer 2

Para encontrar el $f(2)$, queremos considerar % o $3x+5=2$ $x=-1$.

Entonces tenemos $f(3(-1)+5)=(-1)^2-1=0$.

Answer 3

Por ejemplo, $u=3x+5$. Entonces, $x^2-1=(\frac{u-5}{3})^2-1$. $\Rightarrow$ $f(u)=(\frac{u-5}{3})^2-1$ $\Rightarrow$ $f(x)=(\frac{x-5}{3})^2-1$. Ahora podemos ver fácilmente que $f(2)=0$. Sin embargoen vez de hacer todas estas complicadas cosas, nosotros podríamos han hecho la deducción siguiente: $3x+5=2$ $\Rightarrow$ $x=-1$ $\Rightarrow$ $x^2-1=0$. Para resumir, $3x+5=2 \Rightarrow x^2-1=0$ $\:\:\:\equiv\:\:\:$ $f(2)=0.$

EJEMPLO SIMILAR

$f(x-1)=x^2\Rightarrow f(0)=?$

Decir $u=x-1 \Rightarrow (u+1)^2=x^2 \Rightarrow f(u)=(u+1)^2 \Rightarrow f(x)=(x+1)^2 \Rightarrow f(0)=1.$

O

Set %#% $ #%

$$x-1=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow x^2=1$$

$$\Downarrow$$

Answer 4

El problema aquí es con la mentalidad que ve en $3x+5$ y piensa que "el resultado de 3 veces EL número más 5". Otra manera de ver este problema es "estoy pensando en un número ($3x+5$). ¿Qué sería de $x^2-1$?". Si pensamos en $3x+5$ como EL número, a continuación, podemos ver el $x^2-1$ con nuevos ojos. $$x^2-1 = \bigg(\frac{(3x+5)-5}{3}\bigg)^2-1$$ En este caso, tratamos de averiguar lo $x$ sería en términos de número de $3x+5$.

Esta trampa mental se desarrolla debido a que los maestros brillante sobre el Cierre de Principio, medio y secundario de las escuelas. Mientras que todo el mundo entiende que si $x$ es un número, $3x$ es también un número, tendemos a ver la última expresión como un animal diferente que la anterior a la hora de resolver problemas. Vemos a $x$ como un número, sino $3x$ no lo es; es una expresión que tengo que evaluar. En realidad, ambos son números, y ambos son expresiones. Puedo interpretar $3x$ como una expresión a evaluar, tan fácilmente como puedo $\frac{3x}{3}$ ( $x$ ). Igualmente puedo preguntarme si $3x$ es igual a $5$, ¿qué $3x+1$ igual? En este caso no hay absolutamente ninguna necesidad de encontrar $x$ cuando ya conozco el valor de $3x$. Por qué? Debido a $3x$ es un número.

Answer 5

En esencia, dice encontrar $f(2)$. Tenemos el valor de la función definido en $f(3x+5)$. Intentamos resolver la siguiente ecuación $$f(3x+5) = f(2)$$ $$3x+5 = 2$$ $$3x = -3$$ $% $ $x = -1.$

Así si sustituimos en $x=-1,$ obtenemos $$\begin{align}f[3(-1) + 5] & = f(2) \&= (-1)^2 - 1 \&= 1 - 1 \&= 0.\end{align}$ $

Así $f(2) = 0.$