Cuadrática diofantina $(5m+3)(3m+1)=n^2$

Question

Demostrar que $(5m+3)(3m+1)=n^2$ no es satisfecha por ningún positivo números enteros $m,n$ .

Llevo algún tiempo mirando esto (es la parte difícil de un problema de concurso, no lo estropearé nombrando el problema). Intenté mirarlo módulo 3,4,5,7,8,16 para una contradicción, así como mirando el discriminante con respecto a $m$ . No pude terminar de ninguna de las maneras. Me pregunto si se puede utilizar de alguna manera que $(-1,2)$ es una solución.

Hay una posibilidad muy pequeña de que realmente haya soluciones positivas pero he descartado los primeros millones por $m$ con un pequeño script de Python y, como ya he dicho, esto se estableció en una competición por lo que presumiblemente cualquier solución sería razonablemente pequeña.

He oído por ahí que todas las cuadráticas diofantinas se pueden resolver con algún método y me interesaría leer más (aunque no un libro entero, a ser posible).

Answer 1

Puedes reescribir esa ecuación como $(15m+7)^2-15n^2=4$ . Mirando esto $\pmod 4$ podemos encontrar $15m+7$ y $n$ necesita ser uniforme. Por lo tanto $15m+7=2a, \,n=2b$ por lo que tenemos la ecuación de Pell más conocida $a^2-15b^2=1$ resolver.

Obsérvese que la solución positiva más pequeña de la ecuación de Pell es $(a_1, b_1) = (4, 1)$ y todos los demás son generados por $a_n+\sqrt{15}\,b_n = (4+\sqrt{15})^n$ o, más concretamente, la que nos interesa, como una recursión, $a_{n+1} = 8a_n-a_{n-1}$ con $a_1=4, a_2=31$ .

Además, tenga en cuenta que necesitamos $2a=15m+7 \implies 2a \equiv 7 \pmod {15} \implies a \equiv 11 \pmod {15}$ . Sin embargo, la solución de recursión de Pell vista anteriormente $\mod {15}$ genera la secuencia $a_i = 4, 1, 4, 1, 4, 1...$ que se repite sin contener nunca un $11$ . Por lo tanto, no puede haber ninguna solución positiva para $(m, n)$ .

Answer 2

1. Resolver $(5m+3)(3m+1)=n^2$
He aquí un enfoque elemental que sólo utiliza la aritmética modular.
No asumimos $m\geq 0$ inicialmente, para destacar dónde se utiliza exactamente en este enfoque.

Anteriormente se demostró que, puesto que $$3(5m+3)-5(3m+1)=4$$ Tenemos $d=\gcd(5m+3,3m+1)$ divide $4$ .

Si $d=1$ entonces $|5m+3|$ es un cuadrado, por lo que $5m+3$ o $-(5m+3)$ es un cuadrado. Sin embargo, como los cuadrados son $0,1$ o $4$ modulo $5$ Esto es imposible. Por lo tanto, debemos tener $d=2$ o $4$ . En ambos casos $m$ es impar so $m=2k+1$ .

Ahora la ecuación se reduce a $$ (10k+8)(6k+4)=n^2 $$ Dividimos por $4$ en $$ (5k+4)(3k+2) = (n/2)^2 $$ así que ahora $d'=\gcd(5k+4,3k+2)=1$ o $2$ .

Supongamos primero que $d'=2$ Así que $k$ debe ser par, digamos $k=2s$ . La nueva ecuación después de dividir por $4$ es $$ (5s+2)(3s+1) = (n/4)^2 $$ Ahora $\gcd(5s+2,3s+1)=1$ así que, como antes, $5s+2$ o $-(5s+2)$ debe ser un cuadrado. Sin embargo, esto es imposible, ya que los cuadrados son $0,1$ o $4$ modulo $5$ .

Por lo tanto $d'=1$ por lo que tenemos $|3k+2|$ es un cuadrado, por lo que $3k+2$ o $-(3k+2)$ es un cuadrado. Los cuadrados son $0$ o $1$ modulo $3$ por lo que es imposible para los primeros. Para el segundo caso, $k\leq -1$ o bien $-(3k+2)$ es negativo y no puede ser cuadrado.

Nos vemos reducidos a la condición necesaria de que $m=2k+1$ y $k\leq -1$ . En particular $k=-1$ es posible, dando $(m,n)=(-1,2)$ . Esta es la parte en la que se requiere $m$ ser positivo entra en juego: Como $m=2k+1$ positivo $m$ fuerzas $k\geq 0$ y por eso no hay soluciones.

2. Diofantina cuadrática en dos variables
Para ecuaciones diofánticas cuadráticas de dos variables, de la forma $$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$$ Puede consultar entradas como este y esto.

La idea es que puedes multiplicar por enteros y utilizar transformaciones lineales integrales para convertir en $$ X^2 - uY^2 = v $$ por lo que las soluciones enteras originales $(x,y)$ se transforma en soluciones enteras $(X,Y)$ . Encontrando todas las soluciones enteras de esta última, podemos comprobar cuáles satisfacen a la original. El único caso difícil es cuando $u>0$ y no un cuadrado, lo que conduce a una serie de ecuaciones de tipo Pell.

En un entorno más algebraico, la teoría de las normas primos en campos numéricos cuadráticos responde bien a estas preguntas. Libros como "Primes of form $x^2-ny^2$ " lo aborda.

Para más de dos variables efectivamente existe un algoritmo pero, por desgracia, no sé mucho al respecto.