Si $X, Y \sim N(0,1)$, encuentra el CDF de $\alpha X + \beta Y$

Question

<blockquote> <p><strong>Posible duplicado:</strong><br> <a href="http://math.stackexchange.com/questions/228/proof-that-the-sum-of-two-gaussian-variables-is-another-gaussian">Prueba de que la suma de dos variables Gaussian es otro Gaussian</a> </p> </blockquote> <p>Que $X,Y$ ser variable aleatoria de independientes normalmente distribuidas $N(0,1)$ y $\alpha,\beta\in \mathbb{R}$. ¿Cuál es la función de distribución acumulativa de $\alpha X+\beta Y$?</p> <p>Muchas gracias por tu ayuda.</p>

Answer 1

Parece que a partir de tu comentario, como si el significado de su pregunta es diferente de lo que yo pensaba al principio. Mi primera respuesta, supuse que sabía que la suma de independiente normales sí es normal.

Usted tiene $$ \exp\left(-\frac12 \left(\frac{x}{\alpha}\right)^2 \right) \exp\left(-\frac12 \left(\frac{z-x}{\beta}\right)^2 \right) = \exp\left(-\frac12 \left( \frac{\beta^2x^2 + \alpha^2(z-x)^2}{\alpha^2\beta^2} \right) \right). $$ Entonces el numerador es $$ \begin{align} & (\alpha^2+\beta^2)x^2 - 2\alpha^2 xz + \alpha^2 z^2 \\ \\ & = (\alpha^2+\beta^2)\left(x^2 - 2\frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2} xz\right) + \alpha^2 z^2 \\ \\ & = (\alpha^2+\beta^2)\left(x^2 - 2\frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2} xz + \frac{\alpha^4}{(\alpha^2+\beta^2)^2}z^2\right) + \alpha^2 z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2}z^2 \\ \\ & = (\alpha^2+\beta^2)\left(x - \frac{\alpha^2}{\alpha^2+\beta^2}z\right)^2 + \alpha^2 z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2}z^2, \end{align} $$ y, a continuación, recuerde que usted todavía tiene la $-1/2$ e las $\alpha^2\beta^2$ en el denominador, todos dentro de la "exp".

(Lo que acabamos de hacer es completar el cuadrado.)

El factor de $\exp\left(\text{a function of }z\right)$ no depende de $x$, por lo que es una "constante" que se puede sacar de la integral.

El resto de la integral no depende de la "$z$" por una razón, vamos a ver a continuación, y por lo tanto se convierte en parte de la normalización de la constante.

Si $f$ es cualquier función de densidad de probabilidad, a continuación, $$ \int_{-\infty}^\infty f(x \text{algo}) \; dx $$ no depende de "algo", porque uno puede escribir $u=x-\text{something}$ y, a continuación,$du=dx$, y los límites de integración son todavía $-\infty$$+\infty$, por lo que la integral es igual a $1$.

Ahora mira en $$ \alpha^2z^2 - \frac{\alpha^4}{\alpha^2+\beta^2} z^2 = \frac{z^2}{\frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\alpha^2}}. $$

Este iba a ser dividido por $\alpha^2\beta^2$, lo que da $$ \frac{z^2}{\alpha^2+\beta^2}=\left(\frac{z}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2. $$ Por lo que la densidad es $$ (\text{constante})\cdot \exp\left( -\frac12 \left(\frac{z}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right)^2 \right) . $$ Donde la desviación estándar pertenece ahora tenemos $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$.

Answer 2

Tenemos $$\operatorname{var}(\alpha X + \beta Y) = \alpha^2 \operatorname{var}(X) + \beta^2\operatorname{var}(Y).$$ (Si fueron correlacionados, se habría necesitado un tercer término: $\operatorname{cov}(\alpha X,\beta Y) = \alpha\beta\operatorname{cov}(X,Y)$.)

De modo que la desviación estándar de la distribución de la que estamos buscando es $\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$. Y el valor esperado es $0$.

Así, obtenemos $$ F_{\alpha X + \beta Y}(x) = \Pr(\alpha X + \beta Y\le x) = \Pr\left(\frac{\alpha X + \beta Y}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}} \le \frac{x}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right) = \Pr\left(Z \le \frac{x}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right) $$ donde, como de costumbre, $Z\sim N(0,1)$. Esto puede ser escrito como $$ \Phi\left(\frac{x}{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}\right) $$ donde, como de costumbre, $\Phi$ es el estándar de c normal.d.f.