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¿Hay una manera de ver esto geométricamente?

En mi respuesta a esta pregunta - Encontrar el no. de posible en ángulo recto del triángulo. - Yo derivados de este resultado:

Si un triángulo rectángulo ha entero lados $a, b, c$ y entero inradius $r$, a continuación, todos los valores posibles de $a$ $b$ puede ser conseguido en términos de $r$ de la siguiente manera:

Para cada posible divisor $d$ de $2r^2$, $a = 2r+d$ y $b = 2r+\dfrac{2r^2}{d}$. Estas son exactamente las soluciones.

A partir de esto, por supuesto, el número de soluciones sólo depende de la factorización en primos de $r$.

Mi respuesta involucrados algunas molestas y complicadas de álgebra.

Mi pregunta es "hay una forma geométrica para demostrar que las expresiones para $a$ $b$ son verdaderas?"

(Añadido posterior)

Otra manera de decirlo, sin mencionar la divisibilidad:

Tome un rectángulo de área $2r^2$. Extender los lados por $2r$. A continuación, el inradius de la resultante a la derecha del triángulo es $r$.

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Aretino Puntos 5384

Como se muestra en esta respuesta mediante el uso de la fórmula de Heron, si un triángulo genérico ha entero inradius $r$ y entero lados $a$, $b$, $c$, entonces sus lados puede ser escrito como $a=x+y$, $b=x+z$, $c=y+z$, donde enteros positivos $x$, $y$, $z$ satisfacer $$ r^2(x+y+z)=xyz. $$ Si el triángulo es rectángulo de Pitágoras restricción $a^2+b^2=c^2$ se traduce en el adicional de la relación $x+y+z=yz/x$, que sustituido en la ecuación anterior da $x=r$. Uno puede, a continuación, establezca $x=r$ en la misma ecuación y resuelve $z$, a encontrar: $$ z=r{y+r\y-r}, \quad\hbox{que es:}\quad z=r+{2r^2\sobre d}, \ \hbox{donde}\ d=y-r. $$ Para $z$ a ser entero $d$ debe ser un divisor de a $2r^2$ y la sustitución de $x=r$, $y=r+d$, $z=r+2r^2/d$ en las expresiones para $a$, $b$ uno encuentra las expresiones dadas en la pregunta: $$ a=2r+d,\quad b=2r+{2r^2\sobre d}. $$

EDIT.

Hay una manera más simple geométricas manera de obtener el mismo resultado. Como se puede ver en el diagrama de abajo, en un triángulo recto con las piernas $a$, $b$, hipotenusa $c$ y inradius $r$ uno: $$ c=a+b-2r. $$

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El cuadrado ambos lados de la ecuación da

$$ 2r(a+b)=2r^2+ab, $$ y uno puede resolver por $b$ para obtener:

$$ b=2r{a-r\a-2r}. $$ La definición de $d=a-2r$ esto puede escribirse como $$ b=2r{d+r\sobre d}=2r+{2r^2\sobre d}. $$ De que es evidente que $d$ debe ser un divisor de a $2r^2$ $a$, $b$ y $r$ a ser números enteros, y se recupera el mismo los resultados obtenidos anteriormente.

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