¿Cuáles son las principales tácticas en las pruebas de los teoremas?

Question

Puede Usted por favor me ayude a contestar las siguientes preguntas. Yo nunca estaba pensando sobre estas cuestiones, ya que no están en el núcleo de las matemáticas. Sin embargo, desde el punto de vista educativo son muy importantes. Tengo mis propias respuestas, pero no se ven exhaustiva para mí.

1) ¿por Qué en la prueba de un teorema debemos utilizar sólo los hechos que se dan en las condiciones de este teorema?

2) ¿por Qué en la prueba del teorema debemos entender siempre lo que usted desea tener en el final y, a veces, hacer la prueba que va de este final?

Esta pregunta vistazo a lo obvio de la respuesta en serio. Sin embargo, para los estudiantes que no son realmente evidentes, por lo que todas las posibles respuestas interesantes.

Answer 1

Las pruebas tienen diferentes efectos en diferentes lugares en matemáticas. Cuando se va a publicar en una revista de investigación debe convencer a sus lectores de que sus afirmaciones son verdaderas, utilizando las hipótesis en su teorema y otras herramientas es razonable esperar que los matemáticos profesionales en su zona para conocer y aceptar.

Cuando me enseñan a los estudiantes acerca de la escritura de pruebas a las que me sé los teoremas son verdaderos, por lo que no están tratando de convencerme. Lo que yo quiero de ellos es un argumento que me indica que se han convencido a sí mismos de la verdad por buenas razones. Esas razones debe incluir la hipótesis, por supuesto, y cualquier otro instrumento que se enseña en clase, o aceptadas en el nivel del curso.

A menudo, en lugar de pedir a los alumnos a demostrar algo, les pido, ya sea para probar o proporcione un contraejemplo, con la esperanza de que persuadirlos a pensar acerca de la matemática de la verdad en lugar de la forma particular del argumento.

Answer 2

La idea básica detrás de la 1) es, de hecho, bastante obvio: no asumir que algo es verdad si no saben que es verdad!

Un buen ejemplo son puzzles de lógica. Así que aquí son piezas de información como "Bob camisa es roja" o "Sara zapatos son de color blanco". Claramente, en un contexto como este, no podemos asumir que "Juan calcetines son de color azul" si eso no es dado a nosotros. Solo trabajo con lo que le dan.

Otro claro ejemplo es formal pruebas: aquí, usted está muy explícitamente dadas ciertas premisas, y es evidente que usted no puede ad cualquier de los locales.

En la práctica, sin embargo, no siempre es claro lo que podemos asumir o no. De hecho, mire la mayoría de las preguntas publicadas en Matemáticas.SE. A menudo son algo así como "Demostrar que para cualquier número natural $n$ es cierto que $n^2+n+3$ es impar". Bueno, exactamente lo que se nos permite usar como dadas aquí? Podemos asumir que cada número natural es par o impar? O tenemos que ir todo el camino de vuelta algunos de los axiomas de Peano? O ...? Sin embargo, incluso en estos casos el sentido común y la experiencia le dará una idea bastante buena de lo que puede o no puede asumir. Que cada número es dos o impar parece bastante seguro. Pero eso $n^2+n+1$ es impar, probablemente no. Y usted puede ciertamente;t comenzar con: "Vamos a $n$ ser algún número natural. $n$ es impar. ..."

Respecto a 2): me gustaría poner esta idea aún más fuerte. No es sólo que a veces nos 'hacer la prueba de ir' a partir de la conclusión hacia atrás, sino que podemos hacerlo casi todo el tiempo! Es decir, la naturaleza de la conclusión a que nos dirá si se debe configurar la prueba como un universal de la prueba, una prueba condicional, una prueba por contradicción, una prueba por casos, una prueba por inducción, etc. Y esas pruebas técnicas son lo que va a proporcionar la importancia de la 'prueba del plan' o 'prueba esqueleto': proporciona la estructura de la prueba a la que, a continuación, añadir los detalles.

Answer 3

Respecto a tu primera pregunta $(1)$, a veces que no es el caso. Por ejemplo, Euclides demostró que existen infinitos valores de $a, b, c$ tal que $a^2 + b^2 = c^2$. Este ha sido un importante teorema, y podemos demostrarlo de una manera diferente a partir de un enfoque que no se menciona en Euclid de la prueba o en el teorema de sí mismo.

Sabemos que para un valor de $x$, $$(x+1)^2 = x^2 + 1 + 2x;$$ $$(x-1)^2 = x^2 + 1 - 2x.$$ Therefore, $$\begin{align} (x+1)^2(x-1)^2 &= (x^2 + 1 + 2x)(x^2 + 1 - 2x) \\ \Leftrightarrow \big((x+1)(x-1)\big)^2 &= (x^2 + 1)^2 - (2x)^2 \\ \Leftrightarrow (x^2 - 1)^2 + (2x)^2 &= (x^2 + 1)^2.\end{align}$$ Substitute $a = x^2 - 1$, $b = 2x$, $c = x^2 + 1$ and we have proven the theorem. $\qquad\qquad\qquad\quad\,\,\,\Caja$

Vaya aquí para encontrar pruebas de similar especie.