Preservación de $\exists \forall $ -sentencia de campos de extensión algebraica infinita

Question

Llevo varios días pensando en la siguiente pregunta:

Dejemos que $\mathcal{L}$ sea el lenguaje de primer orden de la teoría de anillos. También dejemos que $\exists x \forall y \varphi(x,y)$ sea una sentencia de $\mathcal{L}$ con $\varphi(x,y)$ sin cuantificador. Consideremos la extensión algebraica infinita L de $\mathbb{Q}$ y subextensiones finitas $\mathbb{Q} \subseteq K_i \subset L$ para todo i .

De la teoría de campos sabemos

L es una extensión algebraica de $\mathbb{Q}$ si y sólo si L es límite directo de sus subextensiones finitas.

Entonces L= $\varinjlim K_i=\bigcup_iK_i$ . Ahora dejemos que $K_i \models \exists x \forall y \varphi(x,y)$ para todo i y $\mathbb{Q} \models \exists x \forall y \varphi(x,y)$ .

¿Es necesario que $L \models \exists x \forall y \varphi(x,y)$ ?

Intento dar un contraejemplo pero no lo consigo.

Cualquier pista o respuesta es bienvenida. Gracias.

Answer 1

Creo que lo siguiente es un contraejemplo:

Toma $L$ para ser el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ , $\overline{\mathbb{Q}}$ . Podemos encontrar una secuencia de campos $K_i$ ( $i\in\mathbb{N}$ ) con $K_0=\mathbb{Q}, K_i\subseteq K_{i+1}$ Cada uno de ellos $K_i$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ y $\bigcup K_i=\overline{\mathbb{Q}}$ .

Ahora en cada $K_i$ hay algún elemento que no tiene raíz cuadrada; esto es un $\exists\forall$ -sentencia que falla en $\overline{\mathbb{Q}}$ .

Answer 2

He aquí un contraejemplo para la versión de la pregunta formulada en los comentarios de la respuesta de Noah Schweber. Sea $\exists x\forall y\,\phi(x,y)$ decir "o hay un $x$ sin raíz cuadrada o $2$ tiene una raíz cúbica". (Así que $\phi(x,y)$ es $(y^2\neq x)\lor(x^3=2)$ .) Sea $L$ sea el campo obtenido de $\mathbb Q$ mediante la adición iterativa de raíces cuadradas para todo (a veces llamada el cierre euclidiano de $\mathbb Q$ porque has adjuntado justo lo que necesitas para que los teoremas de Euclides de la geometría plana sean verdaderos en el "plano" $L^2$ ), y que el $K_i$ sea una secuencia creciente de extensiones intermedias de grado finito de $\mathbb Q$ con la unión $L$ . Entonces $L$ no satisface $\exists x\forall y\,\phi(x,y)$ todo en $L$ tiene una raíz cuadrada allí, por construcción, pero $2$ no tiene raíz cúbica. (Este último hecho se suele expresar como la irresolubilidad de la regla y el compás del problema clásico de la duplicación de un cubo). Pero $\mathbb Q$ y todos los $K_i$ 's satisfacer $\exists x\forall y\,\phi(x,y)$ porque no tienen raíces cuadradas para todos sus elementos. Y $\overline Q$ satisface $\exists x\forall y\,\phi(x,y)$ porque contiene $\sqrt[3]2$ .