Condiciones alternativas para una función $\phi:S_g\rightarrow S_g$ ser homotópicas a la identidad

Question

Deje $S_g$ ser un cerrado orientado a la superficie de género $g\ge 1$ $f:[0,1]\times S_g\rightarrow S_g$ ser una función tal que:

• $f(0,x)=x$ por cada $x\in S_g$

• para todos los fijos $t\in [0,1]$ la función de $f(t,\cdot):S_g\rightarrow S_g$ que para cada $x\in S_g$ associates $f(t,x)\in S_g$ es continua

• para todos los fijos $x\in S_g$ la función de $f(\cdot,x):[0,1]\rightarrow S_g$ que para cada $t\in [0,1]$ associates $f(t,x)$ es continua (cada punto se mueve a lo largo de una trayectoria continua)

Pregunta: es $f(1,\cdot): S_g\rightarrow S_g$ homotópica a la identidad?

A mí me parece que la respuesta puede ser "sí", debido a que el continuo rutas de "bloquear" el homotopy clase de $f(1,\cdot)$, pero no puedo formalizar. Sin embargo, en general una por separado función continua no es necesariamente continua así, la función $f:[0,1]\times S_g\rightarrow S_g$ podría no ser continua y, en consecuencia, no puede ser considerado como un homotopy entre la identidad y la $f(1,\cdot)$.

Si la respuesta a la pregunta anterior es "no", entonces es al menos cierto que existe una $\overline t>0$ tal que $f(\overline t,\cdot):S_g\rightarrow S_g$ es homotópica a la identidad?

Answer 1

Limpio pregunta! Permítanme comenzar dando un contraejemplo para$S^1$, en lugar de una superficie. Definir $g:[0,1]\times[0,1]\to \mathbb{R}$ como sigue. En primer lugar, definimos $g(0,x)=x$ todos los $x$. Ahora supongamos $t>0$. Para $0\leq x\leq t/2$, $g(t,x)=x$. Para $t/2\leq x\leq t$, $g(t,x)$ viaja linealmente de$t/2$$t-1$. Para $t\leq x\leq 1$, $g(t,x)=x-1$.

Ahora nos componer $g$ con el cociente mapa de $p:\mathbb{R}\to \mathbb{R}/\mathbb{Z}= S^1$ y observar que $pg(t,0)=pg(t,1)$ todos los $t$. Así, podemos identificar a $x=0$ $x=1$ en el dominio de $pg$, y obtener un mapa $f:[0,1]\times S^1\to S^1$.

Este mapa $f$ ahora se adapte a sus condiciones. Está claro que $f(0,x)=x$ $f(t,\cdot)$ es continua. La continuidad de la $f(\cdot,x)$ sólo es potencialmente un problema en $t=0$, pero no hay ninguna discontinuidad, ya que para cualquier fijo $x$, $f(t,x)=x$ para todos los $t$ lo suficientemente cerca de a $0$ (a pesar de que tan cerca está "lo suficientemente cerca" depende de $x$).

Sin embargo, para cualquier $t>0$, el mapa de $f(t,\cdot)$ es nullhomotopic, y, en particular, no es homotópica a la identidad. De hecho, este es inmediata a partir del hecho de que cuando levantamos $f(t,\cdot)$ a un camino de $\mathbb{R}$, obtenemos $g(t,\cdot)$, e $g(t,0)=g(t,1)=0$.

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Ahora, después de haber construido este ejemplo para $S^1$, se puede ajustar para trabajar en superficies. Por ejemplo, usted podría obtener un ejemplo para $S_0=S^2$ por sólo suspender el mapa de $f(t,\cdot)$ por cada $t$. O usted podría conseguir un ejemplo para $S_1=S^1\times S^1$ mediante el uso de la identidad en una coordenada y de la función anterior en el otro. Por género, mayor que $1$, yo creo que no se puede construir directamente un ejemplo en el ejemplo para $S^1$, pero creo que debe ser posible la adaptación de la idea, aunque no he trabajado en los detalles.