Combinación convexa

Question

Supongamos que$I$ es un conjunto contable, y tenemos$u_i\in \mathbb{R}^n$ para$i\in I$. Supongamos que$v=\sum_{i\in I} a_i u_i$ y$\sum_{i\in I}a_i=1$ y$a_i\geq 0$.

¿Se puede mostrar que existe un$J\subseteq I$% y$b_j$ finitos para$j\in J$ de manera que$\sum_{j\in J}b_j=1$,$b_j\geq 0$ y$v=\sum_{j\in J} b_j u_j$?

¿Es este algún resultado conocido?

Answer 1

Sí, se puede.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $a_i\gt0$ y deje $I=\mathbb N$. Para cualquier subconjunto $A\subseteq\mathbb N$, llamar

$$ W_A=\frac{\sum_{i\in A}a_iu_i}{\sum_{i\in A}a_i} $$

la media ponderada de la $A$. Si el $u_i$ se encuentran en alguna subespacio afín de $\mathbb R^n$, se puede restringir para que el subespacio, por lo que sin pérdida de generalidad podemos suponer que sus afín span es $\mathbb R^n$. Luego, en algún finito índice $k$ hay aportes positivos de las $n+1$ affinely independiente de vectores $A=\{u_{i_1},\dotsc,u_{i_{n+1}}\}$, e $W_A$ es, por tanto, en el interior de su casco convexo $H$. Por lo tanto, dado que tanto $\sum_ia_i$ $\sum_ia_iu_i$ convergen (por lo que sus colas converge a cero) hay algunos $l\ge k$ de manera tal que el promedio ponderado permanece en el interior de $H$ si la cola $\{i\in\mathbb N\mid i\ge l\}$$A$. Entonces, el finito suma puede ser obtenida mediante la sustitución de las contribuciones de la cola por las correspondientes combinaciones lineales de $u_{i_1},\dotsc,u_{i_{n+1}}$.