Cómo calcular el $\int_{0}^{1}(\arcsin{x})(\sin{\frac{\pi}{2}x})dx$?

Question

Cómo encontrar la siguiente integral del valor ?

$$\int_{0}^{1}(\arcsin{x})(\sin{\frac{\pi}{2}x})dx$$

En realidad, yo no sé que puede ser representado como la forma cerrada.

Answer 1

Integrar por partes para obtener

$$\begin{align}\int_{0}^{1} dx \:(\arcsin{x})(\sin{\frac{\pi}{2}x}) = \underbrace{-\frac{2}{\pi} \left [ \cos{\left ( \frac{\pi}{2} x\right)} \arcsin{x} \right ]_0^1}_{\text{this}=0} + \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} \cos{\left ( \frac{\pi}{2} x\right)}\end{align}$$

Ahora el uso de la transformada de Fourier de la relación:

$$\int_{-1}^1 dx \: \frac{e^{i k x}}{\sqrt{1-x^2}} = \pi J_0(k)$$

donde $J_0$ es la función de Bessel de primera especie. La integral es entonces

$$\int_{0}^{1} dx \:(\arcsin{x})(\sin{\frac{\pi}{2}x}) = J_0{\left(\frac{\pi}{2}\right)}$$

EDITAR

En caso de que algunos de ustedes quieren ver el por qué de que FT relación se mantiene, enchufe de la integral en la expresión diferencial de la definición de la función de Bessel de orden cero:

$$k y''+y'+k y=0$$ $$y(0)=1$$

A continuación, obtener

$$k y''+y'+k y=k \int_{-1}^1 dx \; \sqrt{1-x^2} e^{i k x} + i \int_{-1}^1 dx \; \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} e^{i k x}$$

Integrar la segunda integral por partes y de la expresión anterior es igual a cero. La evaluación de la integral

$$\frac{1}{\pi} \int_{-1}^1 dx \: \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} = 1$$

comprueba que la integral es, en realidad, la función de Bessel como se indica.

BONO

Resulta que el factor de $\pi/2$ - normalmente crucial para evaluar una integral como este no es nada especial en absoluto. Utilizando la misma técnica que yo he resumido más arriba, me sale el siguiente, más general resultado:

$$\int_0^1 dx \: (\arcsin{x})(\sin{k x}) = \frac{\pi}{2 k} [J_0(k)-\cos{k}] $$

Answer 2

Aquí es otro enfoque se basa en la fuerza de la serie y la función beta

$$ \int_{0}^{1}(\arcsin{x})(\sin{\frac{\pi}{2}x})dx = \frac{2}{\pi}\,\int_{0}^{1}\!{\frac{\cos \left( \frac{\pi x }{2} \right) }{\sqrt {1- {x}^{2}}}}{dx}$$

$$ = \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k}}{(2k)!}\int_{0}^{1}\frac{x^{2k}}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

$$ = \frac{2}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k} }{(2k)!}\frac{1}{2}\beta\left(k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$$

$$ = \frac{1}{\pi} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k} }{(2k)!}{\frac {\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) \Gamma\left( k+\frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left( k+1 \right) }}$$

$$ = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k} }{(2k)!}{\frac { \Gamma\left( k+\frac{1}{2} \right) }{\Gamma \left( k+1 \right) }}$$

$ $ a = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k \left(\frac{\pi}{2}\right)^{2k} }{{\frac {{2}^{2k}\Gamma \left( k +1\right) \Gamma \left( k+1/2 \right)}{\sqrt{\pi}}}}{\frac{\Gamma\left(k+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(k+1\right)}} $$

$$ = {{J_{0}}\left(\frac{\pi}{2} \right)}, $$

donde

$$ (2k)! = \frac {{2}^{2k}\Gamma \left(k+1\right) \Gamma\left( k+1/2 \right) }{\sqrt {\pi }} ,$$

y $J_{\alpha}(x)$ es la función de Bessel

$$ J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \, \Gamma(m+\alpha+1)} {\left(\frac{x}{2}\right)}^{2m+\alpha}. $$

Answer 3

$\newcommand{\+}{^{\daga}} \newcommand{\ángulos}[1]{\left\langle\, nº 1 \,\right\rangle} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\, nº 1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, nº 1 \,\right\rbrack} \newcommand{\ceil}[1]{\,\left\lceil\, nº 1 \,\right\rceil\,} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\down}{\downarrow} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\fermi}{\,{\rm f}} \newcommand{\piso}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,} \newcommand{\mitad}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\iff}{\Longleftrightarrow} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\isdiv}{\,\left.\a la derecha\vert\,} \newcommand{\cy}[1]{\left\vert #1\right\rangle} \newcommand{\ol}[1]{\overline{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left (\, nº 1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large Un}\,#2\,}\,} \newcommand{\sech}{\,{\rm sech}} \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, nº 1 \,\right\vert} \newcommand{\wt}[1]{\widetilde{#1}}$ $\ds{\int_{0}^{1}\arcsin\pars{x}\sin\pars{{\pi \over 2}\,x}\,\dd x:\ {\large ?}}$

Con $\ds{x \equiv \sin\pars{\theta}\quad\imp\quad\theta = \arcsin\pars{x}}$ \begin{align} &\color{#c00000}{\int_{0}^{1}\arcsin\pars{x}\sin\pars{{\pi \over 2}\,x}\,\dd x} =\half\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \theta\sin\pars{{\pi \over 2}\,\sin\pars{\theta}}\cos\pars{\theta}\,\dd\theta \\[3mm]&=\half\int_{0}^{\pi}\pars{\theta - {\pi \over 2}} \bracks{-\sin\pars{{\pi \over 2}\,\cos\pars{\theta}}}\sin\pars{\theta}\,\dd\theta \\[3mm]&=-\,{1 \over \pi}\int_{\theta\ =\ 0}^{\theta\ =\ \pi} \pars{\theta - {\pi \over 2}}\dd\bracks{\cos\pars{{\pi \over 2}\,\cos\pars{\theta}}} \\[3mm]&=\underbrace{\left.-\,{1 \over \pi} \pars{\theta - {\pi \over 2}}\cos\pars{{\pi \over 2}\,\cos\pars{\theta}} \right\vert_{0}^{\pi}}_{\ds{=\ 0}}\ +\ \underbrace{% {1 \over \pi}\int_{0}^{\pi}\cos\pars{{\pi \over 2}\,\cos\pars{\theta}}\,\dd\theta} _{\ds{=\ {\rm J}_{0}\pars{\pi \over 2}}} \end{align} donde $\ds{{\rm J}_{\nu}\pars{z}}$ es un El Primer Tipo De Función De Bessel. Ver ${\bf 9.1.18}$ en en este enlace.

$$\color{#00f}{\large\int_{0}^{1}\arcsin\pars{x}\sin\pars{{\pi \over 2}\,x}\,\dd x = {\rm J}_{0}\pars{\pi \over 2}} \approx 0.4720 $$