Cómo demostrar que $\{\sqrt m - \sqrt n : m,n \in \mathbb N\}$ es denso en $\mathbb R$ ?

Question

Demostrar que $S=\{\sqrt m - \sqrt n : m,n \in \mathbb N\}$ es denso en $\mathbb R$ .

Conozco la definición de denso como:

Un conjunto S es denso en $\mathbb R$ si existe $a,b \in \mathbb R$ tal que $S \cap(a,b) \neq \emptyset.$

No entiendo cómo proceder. Por favor, ayuda.

Answer 1

Se puede demostrar que cualquier número real $\alpha$ es un punto límite de una secuencia en $S$ .

Esta es una forma de proceder. Considere la secuencia $$\epsilon_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n+1}}$$ y observe que $\epsilon_n \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty$ . Además, tenemos que para cualquier $k \in \mathbb{N}$ , $$k \epsilon_n = \sqrt{k^2(n+1)} - \sqrt{k^2 n} \in S$$ Por lo tanto, cualquier número de la forma $k \epsilon_n$ pertenece a $S$ . Ahora demostramos que los números de esta forma son densos en $\mathbb{R}_{\geq 0}$ cuando $k$ se extiende sobre los enteros positivos.

Arreglar $\alpha > 0$ . Para cualquier $k > 0$ entonces hay algo de $n = n(k)$ para lo cual $$\frac{\alpha}{k} \in (\epsilon_{n(k)}, \epsilon_{n(k) - 1})$$ y así $$\alpha \in (k \epsilon_{n(k)}, k \epsilon_{n(k)-1})$$ Basta con comprobar, entonces, que el tamaño de este intervalo se reduce a cero como $k \rightarrow \infty$ . No es difícil demostrar que $$-1 + \left( \frac{k}{2 \alpha} \right)^2 < n(k) < 1 + \left( \frac{k}{2 \alpha} \right)^2$$ y que $\epsilon_{n} - \epsilon_{n-1}$ va como $\frac{1}{n \sqrt{n}}$ lo que implica que el tamaño del intervalo decae como $1/k$ .

Answer 2

Supongamos que $a,b\in\mathbb R$ con $a<b$ . Tenemos que demostrar que $S\cap (a,b)\ne\emptyset$ . Observe que $$\sqrt{m}-\sqrt {m-1}=\frac{1}{\sqrt{m}+\sqrt{m-1}}<\frac1{2\sqrt{ m-1}}.$$ Así, para $m>\frac1{4(b-a)^2}+1$ tenemos $\sqrt{m}-\sqrt {m-1}<b-a$ . Escoge $n$ con $n>\left(b+\frac1{4(b-a)^2}+1\right)$ . Entonces $\sqrt n -b>\frac1{4(b-a)^2}+1>1$ . Sea $m$ ser mínimo con $m>(\sqrt n-b)^2$ es decir, con $\sqrt n-\sqrt m<b$ . Entonces $\sqrt n-\sqrt{m-1}\ge b$ y por lo tanto $\sqrt n-\sqrt m>\sqrt n-\sqrt{m-1}-(b-a)\ge a$ es decir $$\sqrt n-\sqrt m\in (a,b).$$

Answer 3

Dejemos que $x\geqslant0$ . Para cada número entero $m\gt x^2$ Considera que $u_m=\min\{n\geqslant1\mid \sqrt{m}-\sqrt{n}\leqslant x\}$ y $s_m=\sqrt{m}-\sqrt{u_m}$ . Entonces $u_m$ es finito y $s_m$ está en $S$ .

Además, $\sqrt{m}-\sqrt{u_m}\leqslant x\lt\sqrt{m}-\sqrt{u_m-1}$ por definición de $u_m$ por lo que $0\leqslant x-s_m\lt t_m$ con $t_m=\sqrt{u_m}-\sqrt{u_m-1}$ . Desde $u_m\to\infty$ cuando $m\to\infty$ (¿puede mostrar esto?) y $t_m=1/(\sqrt{u_m}+\sqrt{u_m-1})\to0$ cuando $m\to\infty$ (¿puede mostrarlo?), $s_m\to x$ por lo que el cierre de $S$ contiene $x$ .

Adaptar este argumento a cada $x\lt0$ .

Answer 4

SUGERENCIA: Deja que

$$D=\left\{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}:d\in\Bbb Z^+\right\}=\left\{\frac1{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}:d\in\Bbb Z^+\right\}\;.$$

Dejemos que $(a,b)$ sea cualquier intervalo abierto no vacío en $\Bbb R$ . Si $a<0<b$ entonces $0\in(a,b)\cap S$ Así que supongamos que $0\le a<b$ . Sea $\delta=b-a$ ; hay un $d\in D$ tal que $d<\delta$ ¿por qué?

Para cada $k\in\Bbb Z^+$ tenemos

$$k\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\sqrt{k^2(n+1)}-\sqrt{k^2n}\in S\;,$$

así que $\{kd:k\in\Bbb Z^+\}\subseteq S$ ; demuestran que $(a,b)\cap\{kd:k\in\Bbb Z^+\}\ne\varnothing$ , demostrando así que $S$ es denso en $\Bbb R^+$ los reales positivos.

Una vez que sepas que $S$ es denso en $\Bbb R^+$ mostrar que es denso en los reales negativos es muy sencillo.

Answer 5

El resultado es bastante claro si se escriben los elementos de $S$ como $\sqrt{m} \left( 1 - \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{m}}\right)$ . Elija $\mu \in \mathbf{N}$ de tal manera que $\frac{1}{\mu} < b - a$ , $\mu > b +1$ ; a continuación, considere $m = \mu ^2$ , $n = \nu^2$ para $\nu \in \mathbf{N}$ con estas opciones se hace evidente que $S$ contiene elementos de la forma $\mu - \frac{\nu}{\mu}$ y que para algunos $\nu$ uno de esos puntos pertenece al intervalo $\left( a, b \right)$ .