Pruébalo: El conjunto de todos los polinomios p con p(2) = p(3) es un espacio vectorial

Question

Demuestre que este conjunto es un espacio vectorial (demostrando que es un subespacio de un espacio vectorial conocido). El conjunto de todos los polinomios p con p(2) = p(3).

Entiendo que tengo que satisfacer, la suma de vectores, la multiplicación escalar y demostrar que es no vacío.

Soy nuevo en este concepto, así que no estoy seguro de cómo empezar. ¿Quizás deba usar P(2)-P(3)=0 en su lugar?

Mi preocupación es que no estoy seguro de cuáles son los dos polinomios que tengo que sumar para demostrar la suma de vectores Pero probar la multiplicación escalar parece estar bien.

Gracias también una pregunta de seguimiento; si demuestro que algo es un subespacio de un espacio vectorial conocido ¿implica esto que el subespacio es un espacio vectorial. ¿O ese subespacio tiene que abarcar todo el espacio vectorial primero? ¿Cómo podría demostrar esto en este caso?

Answer 1

Dejemos que $P$ sea el espacio vectorial de todos los polinomios, y sea $V=\{p\in P:p(2)=p(3)\}$ ; queremos demostrar que $V$ es un espacio vectorial, y la forma más fácil de hacerlo es demostrar que es un subespacio del espacio vectorial conocido $P$ . Para ello es necesario demostrar tres cosas:

1. $V\ne\varnothing$ . ( $V$ no está vacío).
2. Si $p,q\in V$ entonces $p+q\in V$ . ( $V$ es cerrado bajo la adición de vectores).
3. Si $p,q\in V$ y $\alpha\in\Bbb R$ entonces $\alpha p\in V$ . ( $V$ es cerrado bajo la multiplicación escalar.

Demostrar (1) es fácil: basta con exponer un polinomio $p$ tal que $p(2)=p(3)$ . El más sencillo es el polinomio constante $p(x)=0$ que también resulta ser el vector cero en $P$ y en $V$ .

Para demostrar (2), hay que empezar con polinomios arbitrarios $p$ y $q$ en $V$ . En otras palabras, tienes polinomios $p(x)$ y $q(x)$ tal que $p(2)=p(3)$ y $q(2)=q(3)$ . (Tenga en cuenta que no saber qué $p(2)$ y $q(2)$ realmente lo son). Para ayudar a mantener la notación correcta, dejemos que $t=p+q$ ; $t$ es un polinomio, y para cada $x\in\Bbb R$ satisface $t(x)=p(x)+q(x)$ . En particular,

$$\begin{align*} t(2)&=p(2)+q(2)\\ &=p(3)+q(3)\qquad\text{ because }p,q\in V\\ &=t(3)\;, \end{align*}$$

así que $t\in V$ . Esto demuestra que $V$ es cerrado bajo la adición de vectores.

Se demuestra (3) de forma muy parecida. Sea $p$ sea cualquier polinomio en $V$ , dejemos que $\alpha$ sea un número real cualquiera, y que $q=\alpha p$ (es decir, $q(x)=\alpha p(x)$ para todos $x\in\Bbb R$ ), y demostrar que $q\in V$ .

Answer 2

Además de la prueba directa (como en la respuesta de Makoto), uno puede simplemente notar que los mapas de evaluación $\rm\:E_{\,r}\!:\, p(x)\to p(r)\:$ sont $\,\Bbb R$ -lineal, por lo que también lo es la diferencia $\rm\:D = E_{\,3} - E_{\,2}\!:\ p(x)\to p(3)-p(2).\:$ Su conjunto es el núcleo de $\rm\,D,\,$ por lo que es un subespacio del espacio vectorial de los polinomios reales.

Answer 3

Dejemos que $V$ sea el espacio de todos los polinomios sobre $\mathbb{R}$ . Sea $W = \{p \in V\colon p(2) = p(3)\}$ . Desde $0 \in W$ , $W$ no está vacío. Sea $f, g \in W$ . Sea $a, b \in \mathbb{R}$ . Entonces $af(2) + bg(2) = af(3) + bg(3)$ . Por lo tanto, $af + bg \in W$ . Así, $W$ es un subespacio de $V$ .