Para obtener más fundamental en mi comprensión de la probabilidad vi conferencias de mathematicalmonk con $\sigma$-álgebras etc. - buena. Una de mis principales preocupaciones era entender mejor la base para la probabilidad condicional: $P[A|B] = P[AB]/P[B]$. Mi pregunta es simple
¿Cómo sabemos que este cociente es de hecho una medida de probabilidad?
Después de todo, cosas como el % de '' cuotas '' $P[A] / P[\bar{A}]$no es una medida de probabilidad.
Suponga que $P(B) > 0$ y definen $P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ para todos los eventos, $A$ $\sigma$- álgebra $\mathcal F$ más que $P(\cdot)$ es una probabilidad de medir. Tenga en cuenta que estamos suponiendo que la $B \in \mathcal F$ ($P(B)$no sería definido). A continuación, $P(\cdot\mid B)$ también es una medida de probabilidad en el mismo $\sigma$-álgebra $\mathcal F$.
Axioma I: $P(A\mid B) \geq 0$ para todos los eventos,$A \in \mathcal F$.
Esto debería ser obvio, ya que $P(A\cap B) \geq 0$. Aquellos que toman Axioma I como $0 \leq P(A) \leq 1$ deben tener en cuenta que desde $(A\cap B) \subset B$, tenemos que $P(A\cap B) \leq P(B)$ $P(A\cap B) \leq 1$ según sea necesario.
Axioma II: $P(\Omega\mid B) = 1$
Esto también debería ser obvio desde $(\Omega \cap B) = B$$P(\Omega\mid B) = 1$.
Axioma III: Para cualquier contables de la secuencia de los distintos eventos de $A_1, A_2, \ldots$, en $\mathcal F$ $P $\left(\left. \bigcup_{n=1}^\infty A_n \,\right\vert \,B\right) = \sum_{n=1}^\infty P(A_n \mid B)$$
Esto requiere un poco de trabajo. Comenzar por señalar que $A_1\cap B, A_2\cap B, \ldots$ es una contables de la secuencia de los distintos eventos. A continuación,
$$\begin{align*}P\left(\left. \bigcup_{n=1}^\infty A_n \,\right\vert \,B\right) &= \frac{P\left(\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right)\cap B\right)}{P(B)}\\ &= \frac{P\left(\bigcup_{n=1}^\infty (A_n\cap B)\right)}{P(B)}\\ &= \frac{\sum_{n=1}^\infty P(A_n\cap B)}{P(B)}\\ &= \sum_{n=1}^\infty P(A_n \mid B) \end{align*}$$
La clave de la motivación para la noción de la probabilidad es la relativa a largo plazo de la frecuencia del fenómeno (LTRF). Por favor, olvidar las matemáticas al leer la siguiente frase: vamos a ${\cal E}$ ser un experimento que se repite infinidad de veces y de forma independiente, en la que no influye en los demás, y que $A$ ser un evento relacionado con los posibles problemas de ${\cal E}$; a continuación, la frecuencia relativa de las ocurrencias de $A$ converge para algún número. El LTRF es considerado como una "ley de la naturaleza", no una afirmación matemática; en particular, la noción de "independencia" no es un matemático aquí; intuitivamente significa que no hay problema influye en los demás. Y como me dijo el LTRF es la clave de la motivación de probabilidad: $\Pr(A)$ es la modelización matemática del límite de número mencionado en el LTRF.
El LTRF motiva a los básicos de aditividad axioma de la probabilidad: $\Pr(A \cup B) = \Pr(A)+\Pr(B)$ para distintos eventos $A$$B$. De hecho, teniendo en cuenta la LTRF contexto y denotando por $N(A,n)$ el número de ocurrencias de un evento $A$ en el primer $n$ independiente de las actuaciones de ${\cal E}$, claramente ha $N(A\cup B, n) = N(A,n)+N(B,n)$$\frac{N(A\cup B, n)}{n} \to \Pr(A\cup B)$, mientras que de $\frac{N(A, n)}{n} \to \Pr(A)$$\frac{N(B, n)}{n} \to \Pr(B)$. De hecho, el "básico" aditividad tiene de $N(\cdot, n)$. Por "básica" me refiero a "finito". El teórico $\sigma$-aditividad es puramente matemático noción.
El LTRF también motiva a la noción de probabilidad condicional $\Pr(B \mid A)$. Un "subproducto" de la probabilidad condicional es la noción de independencia (es decir, la modelización matemática de la idea intuitiva de la independencia mencionado en el LTRF): $A$ $B$ dijo ser independiente al $\Pr(B\mid A)=\Pr(B)$. Ahora la probabilidad condicional de que se presentó de la siguiente manera en el LTRF contexto: la probabilidad condicional de a $\Pr(B \mid A)$ a largo plazo es la proporción de los experimentos para los cuales $B$ se produce entre los experimentos para los cuales $A$ se produce. Es decir, $\Pr(B \mid A)$ es considerado como el "LTRF límite" de $\frac{N(A\cap B, n)}{N(A,n)}$. Tenga en cuenta que $\frac{N(A\cap B, n)}{N(A,n)}= \frac{N(A\cap B, n)/n}{N(A,n)/n}$, y por el LTRF regla de que los rendimientos de la definición matemática $\Pr(B \mid A)=\frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(A)}$.
Esta fundación se muestra que la probabilidad condicional de a $\Pr(\cdot \mid A)$ debe ser una probabilidad. Sé que no responde a tu pregunta matemática, pero espero que le ayuda a familiarizarse con el concepto de probabilidad condicional.
La respuesta a tu pregunta no es difícil: es fácil ver que $B \mapsto \frac{\Pr(A\cap B)}{\Pr(A)}$ satisface los axiomas de probabilidad. De hecho, el $\sigma$-aditividad de obras para $B \mapsto \Pr(A\cap B)$, y los otros axiomas obviamente cierto.
D. Williams. El pesaje de las Probabilidades: Un Curso de Probabilidad y Estadística. Cambridge University Press, 2001.
No soy matemático, pero tiene una medida de probabilidad que suma a $1$ cuando se añade en los eventos de $A$ dado $B$:
$$\displaystyle \sum_{A} \mathbb{P}(A \lvert B) = 1$$
y que para las probabilidades, por ejemplo.
En otras palabras, debe contener los axiomas de probabilidad .
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