¡Oh dios mío! Yo realmente disfrutamos de la solución de este. Así, su pregunta había cuatro sub-preguntas
A)el triángulo de permanecer siempre equilátero?
B)(Tasa de Cambio) de (Área del Triángulo)? Constante?
C)Gráfica de [(Tasa de Cambio) de (Perímetro del Triángulo)]..
D)Encuentre [(Tasa de Cambio) de (Perímetro del Triángulo)].
Si no te importa, voy a cambiar el orden de lo que yo les respondo:
A)la Tasa de Cambio de
a)Área del Triángulo?
b)el Perímetro del Triángulo.
B) Gráfico De $b)$
C) ¿el triángulo de permanecer siempre equilátero?
RESPUESTA
A) Para empezar, pensé que me iba a mostrar una imagen:![Triangles of Increasing Sizes]()
Esta Imagen muestra el Enfoque que me llevó a esta pregunta (Fig.1).
Imagine que usted tiene un triángulo con su esquina inferior izquierda en el origen $O(0,0)$; para comenzar a construir un triángulo, requiere de tres líneas de la forma $[(y=mx+b) or (ax+by+c=0)]$.
La primera línea se construirá será el más fácil; es la parte inferior del triángulo. Esta línea es segura para describir como el eje de las x. Vamos a definir el eje x como la ecuación de la primera línea ( $y_1$ ), $y_1=0$.
La segunda línea ( $y_2$ ) voy a construir será la parte superior del lado izquierdo del triángulo. Para que se haga un ángulo de $60^\circ$ con el eje x, la línea debe tener una pendiente de $tan(60^\circ)=tan\left(\frac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}$. Por lo tanto, la segunda línea será: $y_2=(\sqrt{3})x$ (ilustrado por la línea roja de arriba).
La tercera línea ($y_3$) (representado por las posibles líneas de color negro) es un poco más complejo. Es la pendiente será el negativo equivalente a la pendiente de la segunda línea. Por lo tanto, tendría la fórmula: $y_3=-(\sqrt{3})x+b$. En la línea, $b$, representa que tan alto en el eje y la línea de inicio, después de todo, $\left.y\right|_{x=0}=b$. En esta pregunta, mi método para dejar $b$ como un desconocido constante, $C$, de modo que podemos modelar el triángulo de crecimiento ($C$ aumenta. Entonces nuestra línea sería: $y_3=C-(\sqrt{3})x$.
Por lo tanto, el triángulo es el área de intersección entre las tres líneas:
$$\eqalign{
y y_1=0 \\
y y_2=( \sqrt{3} )x \\
y y_3=C-( \sqrt{3} )x \\
}$$
Por lo tanto, puede determinar muchas cosas a partir de esta información, tales como el hecho de que este triángulo la longitud de la $x$-valor donde $y_3$ intersecta con el eje de las x o:
$$0=y_3=C-( \sqrt{3} )x$$
$$( \sqrt{3} )x=C$$
$$x=\frac{C}{\sqrt{3}}$$
Por lo tanto, el triángulo tiene una longitud de $\frac{C}{\sqrt{3}}$. También podemos ver que la altura del triángulo es el $y$-valor, donde las dos líneas insersect:
$$y_2=y_3$$
$$( \sqrt{3} )x=C-( \sqrt{3} )x$$
$$2( \sqrt{3} )x=C$$
$$x=\frac{C}{2\sqrt{3}}$$
valor de y:
$$y_2\big|_{\frac{C}{2\sqrt{3}}}=( \sqrt{3} )(\frac{C}{2\sqrt{3}})=\frac{C}{2}$$
Por lo tanto, el área del triángulo ( $\frac{bh}{2}$ ):
$$A=\frac{\frac{C}{\sqrt{3}}\frac{C}{2}}{2}=\frac{C^2}{4\sqrt{3}}=\frac{C^2}{\sqrt{48}}$$
A pesar de este triángulo es el centro de masa no está centrada en $O(0,0)$, vamos a demostrar más tarde que este hecho no es relevante y que esta fórmula del Área es DIRECTAMENTE proporcional al Área de la fórmula SI el triángulo se ha centrado en el origen.
Vamos a proceder a encontrar el centro de masa del triángulo. En un triángulo equilátero, el centro de masa puede ser demostrado ser ubicado $(1/3)$ de la altura del triángulo. Dado que la altura del triángulo, el punto de $H$ se encuentra en $H\left(\frac{C}{2\sqrt{3}},\frac{C}{2}\right)$, el punto del centro de masa, $M$, se encuentra en $H\left(\frac{C}{2\sqrt{3}},\frac{C}{6}\right)$.
Por lo tanto, podemos observar. Para el centro del triángulo del centro de masa en $O(0,0)$, debemos traducir $y_1, y_2,$ y $y_3$ $\left(\frac{C}{2\sqrt{3}}\right)$ unidades a la izquierda y $\left(\frac{C}{6}\right)$ unidades hacia abajo. Voy a indicar las líneas transformadas ( $y$ ) $y'$
Así:
$$y_1=0(x) \phantom{s} \rightarrow \phantom{s} y'_1=0\left(x+\frac{C}{2\sqrt{3}}\right)-\frac{C}{2}=-\frac{C}{6}$$
$$y_2=( \sqrt{3} )x \phantom{s} \rightarrow \phantom{s} y'_2=( \sqrt{3} )\left(x+\frac{C}{2\sqrt{3}}\right)-\frac{C}{6}=\frac{C}{3}+( \sqrt{3} )x$$
$$y_3=C-( \sqrt{3} )x \phantom{s} \rightarrow \phantom{s} y'_3=C-( \sqrt{3} )\left(x+\frac{C}{2\sqrt{3}}\right)-\frac{C}{6}=\frac{C}{3}-( \sqrt{3} )x$$
Así que el nuevo triángulo está centrada en su centro de masa y se compone de las líneas de $y'_1, \phantom{I} y'_2, \phantom{I} y'_3$ para avanzar en los valores de C se muestra a continuación (Fig. 2):
![Increasing values of C]()
Usted encontrará la zona, sin embargo a ser el mismo. Es $A=\frac{C^2}{\sqrt{48}}$.
Su derivada puede ser fácilmente calculada:
$$\frac{d}{dC}A=\frac{C}{\sqrt{12}}$$
Y por lo tanto, el área no es constante.
Si me podría dirigir su atención a la primera imagen (Fig.1). Está claro que el perímetro es la longitud de uno de los lados, $S$, multiplicado por tres. La forma más fácil es determinar la parte de abajo. Esta longitud es el $x$-valor donde $y_3=0$:
$$\eqalign{&y_3=0 \\
Y C-( \sqrt{3} )x=0 \\
Y C=( \sqrt{3} )x \\
&\frac{C}{\sqrt{3}}=x}$$
Por lo tanto, el perímetro es $P=\left(3\frac{C}{\sqrt{3}}\right)=(\sqrt{3})C$. Muy bien, la gráfica de la que sería la Línea Roja en la (Fig.1) imaginando que el eje horizontal representa los valores de $C$, y que el eje vertical representa los valores de $P$.
Finalmente, la pregunta final es si el triángulo estancia equilátero, independientemente de su tamaño? La respuesta es sí. esto es comprobable a través de mirar límites. Una manera de probar esto es lo $C$ Aumenta, si el coseno del ángulo inferior izquierdo permanece $\frac{1}{2}$ ( $cos 60^\circ$ ), entonces el triángulo de la parte inferior izquierda ángulo no ha cambiado. Si el mismo puede ser probada por la parte inferior en ángulo recto, entonces el ángulo superior debe ser el mismo que los dos de abajo y el triángulo permanecerá equilátero, independientemente de la de aumentar el valor de C o de su valor.
Para la parte inferior izquierda ángulo de la parte superior izquierda de la longitud es la misma que en la parte inferior, $\left(\frac{C}{\sqrt{3}}\right)$ y la parte inferior del lado necesarios para el ángulo puede ser visto como la mitad de la parte inferior del triángulo, como el triángulo de la parte inferior de la longitud de la es $\left(\frac{C}{\sqrt{3}}\right)$, la parte inferior de la longitud necesaria para los cálculos de ángulos es $\frac{C/\sqrt{3}}{2}=\frac{C}{\sqrt{3}}$. Por lo tanto, la relación es:
$$cos(\theta)=\frac{C/(2\sqrt{3})}{C/\sqrt{3}}=\frac{C}{2\sqrt{3}}\bigg/\frac{C}{\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3})C}{(2\sqrt{3})C}$$
$$\theta=cos^{-1}\left[\frac{(\sqrt{3})C}{(2\sqrt{3})C}\right]$$
$$\lim_{C \rightarrow a}{\theta}=\lim_{C \rightarrow a}{cos^{-1}\left[\frac{(\sqrt{3})C}{(2\sqrt{3})C}\right]}=\lim_{C \rightarrow a}{cos^{-1}\left[\frac{1}{2}\right]}=\lim_{C \rightarrow a}60^\circ$$
Esto se puede hacer de forma idéntica a la de otro ángulo lo que demuestra que ambos ángulos permanecerá en$60^\circ$, independientemente de $C$. Por lo tanto, el triángulo siempre será equilátero. Ahí está!
Espero que disfruten de la lectura de esta respuesta tanto como yo he disfrutado escribiendo, buena PREGUNTA!
este es el problema de mi mente curiosa(yo soy diseñador!) . tres personas cada uno con la cuerda que se adjunta al final de los 3 lados del triángulo ABC , tire el triángulo con velocidad U en la dirección de la recta que pasa de la mano de la gente pasa el centro de la masa del triángulo(suponga que el centro de masa de un triángulo es el origen , x=0,y=0 y las coordenadas son las mismas para todos los intervalos de tiempo . en t=0 el triángulo es equilátero .
