En el chat alguien le preguntó
¿Alguien sabe de un torsión-libre Grupo (finito presentable) cuya abelianisation tiene torsión?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
$G=\pi_1(K)=\langle a,b\ |\ aba^{-1}=b^{-1}\rangle$ donde $K$ es la botella de Klein es, de hecho, a la izquierda-disponible, que es un poco más fuerte que de torsión libre (esto es en el hecho cierto de no trivial grupo fundamental de una superficie además de a $\Bbb R \Bbb P^2$). Para ver esto consideremos $G$ como el grupo de isometrías del plano generado por $a(x,y)=(1+x,-y)$$b(x,y)=(x,1+y)$. Ahora para $g \in G$, decir $g>e$ si $g(0,0)=(x,y)$ $x>0$ o $x=0$$y>0$. Es bastante fácil ver que esto es un fin en $G$. Como $H_1(K,\Bbb Z)=\Bbb Z \oplus \Bbb Z_2$, su abelianization ha de torsión.
Esta prueba es arrancado de Rolfsen a hablar aquí.
Fat Mind
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Denotar por $H_3(\mathbb{Z})$ integral Heisenberg grupo de unitriangular matrices $\mathbb{Z}$-entradas. Se ha
$$x=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}, \quad y=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad z=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} $$
en que $z$ viajes con $x$$y$, e $[x,y]=z$. De hecho,
$$H_3(\mathbb{Z})=\langle x,y,z \mid [x,y]=z, [z,x],[y,x]\rangle $$
es una presentación. Verificar que el $x,y,z$ generar $H_3(\mathbb{Z})$ y que satisfacen esas relaciones, no debería ser tan duro, pero no sé una prueba de por qué todas las relaciones de estos tres. Y, sin embargo, parece ser un hecho bien conocido. El abelianization $H_3(\mathbb{Z})^\mathrm{ab}$ puede ser encontrado asumiendo $x,y,z$ viaje y relecturas de la presentación: su generados por $x,y,z$ con una sola relación $z$. Esto es $\mathbb{Z}^2$.
A continuación, considere la posibilidad de $G=\big(H_3(\mathbb{Z})\times\mathbb{Z}\big)/\langle (z,-n)\rangle$. Escrito $\mathbb{Z}=\langle w\rangle$, podemos decir que
$$G=\left\langle w,x,y,z ~\left| ~\begin{array}{c} [x,y]=z=w^n \\ [z,x],[z,y], \\ [w,x],[w,y],[w,z]\end{array}~~ \right. \right\rangle.$$
Evidentemente no se ha finito presentación. Supongamos que un elemento de $G$ fueron de torsión. Su matriz de parte debe tener $0$ en la parte media-superior y medio-a la derecha de las entradas, por lo que es en $\langle \overline{z},\overline{w}\rangle\cong\mathbb{Z}^2/\langle(1,-n)\rangle$. Si $\ell(a,b)=k(1,-n)$ algunos $(a,b)\in\mathbb{Z}^2$ y un valor distinto de cero $\ell,k\in\mathbb{Z}$ $a=\frac{k}{\ell}$ es un número entero por lo $(a,b)=\frac{k}{\ell}(1,-n)$. Por lo $G$ es torsionfree.
El abelianization de $G$ es generado por $w,x,y,z$ relaciones $z,w^n$, lo $G^\mathrm{ab}\cong\mathbb{Z}^2\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.
