Cuando la curvatura es máxima de $x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}$

Question

PREGUNTA

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Encuentra dónde la curvatura tiene un máximo ¿?

$$x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}$$ MI ENFOQUE

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$$x^\frac{1}{2}+y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}. . . . . (1)$$

$$\Rightarrow y^\frac{1}{2}=a^\frac{1}{2}-x^\frac{1}{2}$$ ahora diferenciando ambos lados obtendremos: $$\frac{1}{2}{y^\frac{-1}{2}}\frac{dy}{dx}=(-1)\frac{1}{2}x^\frac{-1}{2}$$ $$\Rightarrow \frac{dy}{dx}=-(\frac{y}{x})^\frac{1}{2}. . . . . .(2)$$ Ahora diferenciando de nuevo con respecto a x: $$\frac{d^2y}{dx^2}=-\bigg(\frac{1}{2}(\frac{y}{x})^\frac{-1}{2}.\frac{d}{dx}(\frac{y}{x})\bigg)$$ $$=-\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{d}{dx}(\frac{1}{x})y-\frac{dy}{dx}(\frac{1}{x})\bigg)\Bigg)$$ $$=-\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{-y}{x^2}-\frac{dy}{dx}(\frac{1}{x})\bigg)\Bigg)$$ ahora poner el valor de $\frac{dy}{dx}$ : $$=\frac{1}{2}\Bigg(\frac{x^\frac{1}{2}}{y^\frac{1}{2}}\bigg(\frac{y}{x^2}-(\frac{y}{x})^\frac{1}{2}\frac{1}{x}\bigg)\Bigg)$$ Después de simplificar obtuve:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{1}{2x}\bigg(\frac{y^\frac{1}{2}}{x^2}-1\bigg). . . . .(3)$$ pero de la simplificación de la ecuación (2) en términos de $a$ resultará: $$\frac{dy}{dx}=1-(\frac{a}{x})^\frac{1}{2}$$ aquí puedo simplificar esto fácilmente para obtener $\frac{d^2y}{dx^2}$ es decir $$\Rightarrow\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\sqrt a}{2x\sqrt x}. . . . .(4)$$ No sé por qué no puedo reducir (3) a (4). Tal vez haya algún error de cálculo, incluso ese no es mi pregunta. procediendo a encontrar el radio de curvatura y la curvatura :

DE LA FÓRMULA $$\rho=\frac{\bigg(1+(\frac{dy}{dx})^2\bigg)^\frac{3}{2}}{\frac{d^2y}{dx^2}}$$ poniendo los valores de (2) y (4): $$\Rightarrow \rho=\frac{\bigg(1+\frac{y}{x}\bigg)^\frac{3}{2}2x\sqrt x}{\sqrt a}$$ $$\Rightarrow\rho=\frac{2(x+y)^\frac{3}{2}}{\sqrt a}$$ así que la curvatura es $$\frac{1}{\rho}=\kappa=\frac{\sqrt a}{2(2x+a-2\sqrt a\sqrt x)^3/2}$$ [darse cuenta de que he puesto y en términos de a y x]

AHORA COMIENZA EL PROBLEMA

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para ser un extremo $\frac{d\kappa}{dx} =0 $ y tengo que verificar el signo de $\frac{d^2\kappa}{dx^2}$ :

como se puede ver en la imagen : $$\frac{d\kappa}{dx}=\frac{3\sqrt a(2-\frac{\sqrt a}{\sqrt x})}{4(2x-2\sqrt x\sqrt a+a)^\frac{3}{2}}$$ Ahora dejando esto en cero tenemos : $$2=\frac{\sqrt a}{\sqrt x}$$ así que estoy obteniendo $x=\frac{a}{4}$ como un punto crítico. PERO la respuesta se da como $\frac{\sqrt 2}{a}$ incluso puedes ver por inspección que $x=\frac{a}{4}$ no es un punto crítico. por favor ayuda y déjame saber dónde he cometido el error. ESTA ES MI HUMILDE PETICIÓN.

Answer 1

Tal vez no sea una respuesta completa, pero a continuación encontrarás mi solución al problema, que lleva a la misma respuesta que la tuya, por lo que ambos estamos equivocados o la hoja de respuestas está equivocada.

Parametriza tu curva como $$ x(t) = a\cos^4 t, \quad y(t) = a\sin^4 t. $$ Luego \begin{align} \dot x(t) &= -4a\cos^3 t \sin t,\\ \ddot x(t) &= -4a(-3\cos^2t\sin^2t + \cos^4 t)\\ &= -4a\cos^2 t(\cos^2t -3\sin^2 t), \end{align} y \begin{align} \dot y(t) &= 4a\sin^3 t \cos t,\\ \ddot y(t) &= 4a(3\sin^2t\cos^2t - \sin^4 t)\\ &= 4a\sin^2 t(3\cos^2t -\sin^2 t). \end{align} Entonces \begin{align} \dot x \ddot y - \ddot x \dot y &= -16a^2\cos^3 t \sin^3 t (3\cos^2t -\sin^2 t) + 16a^2\sin^3 t \cos^3 t(\cos^2t -3\sin^2 t)\\ &= 16a^2\cos^3 t \sin^3 t (-4\cos^2 t - 4\sin^2t) = -64 a^2 \cos^3 t \sin^3 t, \end{align> y \begin{align> (\dot x^2 + \dot y^2 )^{3/2} &= (16a^2\cos^6t\sin^2t+16a^2\sin^6t\cos^2t)^{3/2}\\ &= 64a^3\cos^3t\sin^3t (\cos^4t+\sin^4t)^{3/2}.

Esto da $$ \kappa(t) = \frac{\dot x \ddot y - \ddot x \dot y}{(\dot x^2 + \dot y^2 )^{3/2}} = - \frac{1}{a(\cos^4t+\sin^4t)^{3/2}}.$$ Ahora \begin{align> \dot\kappa(t) &= \frac{3}{2a}\frac{-4\cos^3t\sin t + 4\sin^3 t\cos t}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= \frac{3}{2a}\frac{4\cos t\sin t(\sin^2t- \cos^2 t}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= \frac{3}{2a}\frac{-2\sin(2t)\cos(2t)}{(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}\\ &= -\frac{3\sin(4t)}{2a(\cos^4t+\sin^4t)^{5/2}}. \end{align> Por lo tanto, $\dot \kappa = 0$ siempre que $\sin(4t) = 0,$ lo cual ocurre para $$ 4t = \pi n \Leftrightarrow t = \frac{\pi}{4}n, \quad n\in \mathbb{Z}. $$ Dado que (presumo que) $x,y > 0$, estamos considerando $t \in (0, \pi/2)$, por lo que la única opción válida es $t = \pi/4$, y entonces $$ x\left(\frac{\pi}{4}\right) = a\cos^4\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{a}{\sqrt{2}^4} = \frac{a}{4}, $$ lo que confirma tu respuesta.

También, el gráfico parece indicar que la curvatura tiene un extremo en este punto. Nota que no estamos buscando un extremo de la curva, sino más bien el extremo de su curvatura.

Answer 2

La ecuación $$\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{a}$$ es equivalente a $$y=x-2\sqrt{ax}+a,~~~0\leq x \leq a.$$

Por lo tanto, $$y'=1-\frac{a}{\sqrt{ax}},~~~y''=\frac{a}{2x\sqrt{ax}}.$$

Por lo tanto, $$k=\frac{|y'|}{(1+y''^2)^{3/2}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{a}{(2x-2\sqrt{ax}+a)^3}}.

Observa que $$2x-2\sqrt{ax}+a=2\left(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{a}}{2}\right)^2+\frac{a}{2}\geq \frac{a}{2}$$ con la igualdad sostenida únicamente si $\sqrt{x}=\dfrac{\sqrt{a}}{2}$, es decir $x=\dfrac{a}{4}$. Como resultado, $k$ alcanza su valor máximo $k=\dfrac{\sqrt{2}}{a}$ en $x=\dfrac{a}{4}.$