cómo calculuate $\int_0^ \pi \sqrt{1+x^2 \sin^2x}dx$

Question

Yo era encontrar la longitud del arco de $y=\sin x - x \cos x$ $(0 \leq x\leq \pi)$

y yo me he resolver

$$\int_0^\pi \sqrt{1 + x^2\sin^2{x}}\, dx $$

pero no tengo ni idea sobre esto.

He intentado utilizar $\sin^2x + \cos^2x=1$, $\sin^2x =(1-\cos 2x)/2$ pero fracasó.

Answer 1

Ya no parece ser una simple forma cerrada de valor, recomiendo el siguiente método aproximado.

Deje que el integrando $\sqrt{1 + x^2\sin^2{x}}$ tiene un máximo de M y mínimo de m $[0,\pi]$. A continuación, la siguiente desigualdad se cumple:

$$\pi \;\text{m}<I=\int_0^\pi \sqrt{1 + x^2\sin^2{x}}\, dx<\pi\;\text{M}$$

Mínimo de el integrando es, obviamente,$\text{m}=1$. Máximo de el integrando depende del máximo de la función de $f=(x\sin x)^2$. Abajo es un dibujo de $f$:

Ya que estamos tratando con un cálculo aproximado nos tomamos $f_{max}=3$ " en aras de la simplicidad. (El valor real es de $f_{max}=3.31...$). Así, la máxima de que el integrando es $\text{M}=2$ y obtenemos la desigualdad:

$$\pi <I<2\pi$$

Ahora, como una estimación, tomamos el valor de la integral será la media aritmética de la parte superior y la parte inferior de los límites de la integral:

$$I=\frac{\pi+2\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}=4.71...$$

El valor real de la integral es $I=4.69...$.

Por supuesto, el hecho de que la estimación resultó ser tan cerca del valor real, es una casualidad.