¿Por qué la presión es la misma en un plano horizontal en un fluido estático?

Question

Una de las explicaciones más comunes es la de un matraz cilíndrico lleno de líquido y la segunda ley de Newton. Pero estas explicaciones son específicas. ¿Cuál podría ser la explicación en un caso en el que el fluido se llena en un matraz de forma aleatoria?

Answer 1

Supongamos que tienes una bola muy pequeña a la profundidad h en el líquido. Suspendiendo la incredulidad, imagine que la bola se expande en un volumen $\Delta V$ . El resultado neto será que un volumen $\Delta V$ de líquido sube a la superficie desde la profundidad h . Ahora bien, si tenemos un líquido ideal sin fricción, y despreciamos la presión atmosférica (que puede ser fácilmente restablecida)

Trabajo realizado sobre el fluido por la bola en expansión = Grav. PE ganado por volumen $\Delta V$ , $$\text{so}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p \Delta V = (\rho\ \Delta V) g h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ,$$ $$\text{that is} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ p = \rho g h\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \.$$ $\rho$ es la densidad del líquido, por lo que $\rho\ \Delta V$ es la masa del volumen $\Delta V$ desplazado. El lado izquierdo, $p \Delta V$ es la fórmula habitual del trabajo realizado por un pistón ( $F\ \Delta r= (pA)\ \Delta r = p(A\ \Delta r) = p\ \Delta V$ ); el área del pistón es A pero su forma (¡en este caso esférica!) no importa.

No sólo tiene ahora el conocido $h \rho g$ fórmula para la presión (¡no te olvides de añadir la atmosférica!), ¡pero ya ves que no depende de la forma del recipiente!

Answer 2

Tomemos dos puntos al azar, $x_1$ y $x_2$ , que se encuentran en el mismo plano horizontal en un líquido dentro de un matraz de forma aleatoria.

Ahora vamos a dibujar un cilindro horizontal circular muy delgado, tal que los puntos $x_1$ y $x_2$ se encuentran en los centros de sus dos bases circulares, cada una con un área A.

Las únicas fuerzas horizontales que actúan sobre las dos bases del cilindro son $p_1A$ y $p_2A$ . Como las bases del cilindro son muy pequeñas, suponemos aquí que la presión en cada una de las bases es uniforme.

Naturalmente, para que el cilindro esté en equilibrio estático, $p_1A$ tiene que ser igual $p_2A$ y, por lo tanto, $p_1$ tiene que ser igual $p_2$ .

Si, debido a una forma compleja del matraz, los puntos $x_1$ y $x_2$ no se pueden conectar directamente, dibujaremos una serie de cilindros horizontales y verticales que bajen desde ambos puntos hasta que se pueda hacer una conexión horizontal directa. Entonces, aplicaremos la misma lógica que hemos utilizado antes para cada cilindro horizontal y la misma lógica a la que te has referido para cada cilindro vertical.