Un mapa integral de Toro 3 $\mathbb{T}^3$ $S^3$ de la 3-esfera

Question

Deje $\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4 \in \mathbb{R}$ ser real de las funciones con valores, de tal manera que

$$\phi_j(x,y,z):(x,y,z) \in \mathbb{T}^3 \to \phi_j(x,y,z) \in \mathbb{R}.$$

Aquí $\mathbb{T}^3$ es un 3-toro, con $j=1,2,3,4$.

El $\phi_j(x,y,z)$ satisface una restricción $$\sum_{j=1}^4 (\phi_j)^2=1,$$ lo que significa que $(\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4)$ es un vector en una 3-esfera $S^3$.

Considere la integral calculada a partir del dominio de $(x,y,z) \in\mathbb{T}^3$ a la meta de $(\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4) \in S^3$. Podemos elegir el $\mathbb{T}^3$ tiene una unidad de longitud 1, y el $S^3$ tiene un radio de la unidad 1.

Pregunta 1:

Podemos demostrar que $$(2/\pi^2) \int_{T^3} (\epsilon^{abc} \phi_1 \partial_a \phi_2 \partial_b \phi_3 \partial_c \phi_4) \;dx dy dz\;\in \mathbb{Z}?$$ es valores enteros? (O hasta un delantero factor fijo.) Es esto cierto o es malo? (Al menos para cierta función del $\phi_j(x,y,z)$, encontrar la integral puede ser valores enteros.

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(De bono, pero se puede omitir este de abajo, para reclamar la respuesta.)

Pregunta 2: De manera más general, hay algunos homotopy tipo de restricción, de tal manera que la integral de mapa desde el dominio $\mathbb{T}^d$ a la esfera $S^d$, ciertos integral de la forma similar $$\# \int_{T^d} (\epsilon^{\mu_1 \mu_2 \mu_3 \dots \mu_d} \phi_1 \partial_1 \phi_2 \dots \partial_{\mu_{d-1}} \phi_{d} \partial_{\mu_d} \phi_{d+1}) \;d^dx \;\in \mathbb{Z}?$$ donde $$\sum_{j=1}^d (\phi_j)^2=1,$$ Hasta para una adecuada normalización $\#$?

Answer 1

Considerar las tres formas de $\psi = x_1 dx_2\wedge dx_3 \wedge dx_4$. Escribir $\phi : \mathbb T^3 \to \mathbb R^4$, $\phi = (\phi_1, \cdots, \phi_4)$. Entonces

$$\begin{align} \int_{\mathbb T^3} \phi^* \psi &= \int_{\mathbb T^3} \phi_1 d\phi_2 \wedge d\phi_3 \wedge d\phi_4 \\ &= \int_{\mathbb T^3} \epsilon^{abc} \phi_1 \partial_b \phi_2 \partial _c \phi_3 \partial _c\phi_4 \ \mathrm d x\ \mathrm d y\ \mathrm d z. \end{align}$$

Por otro lado,

$$\int_{\mathbb T^3} \phi^* \psi = \operatorname{deg} (\phi) \int_{\mathbb S^3} \psi,$$

donde $\operatorname{deg}$ es el deg del mapa $\phi$, que es un entero. Finalmente, por el teorema de Stokes,

$$\int_{\mathbb S^3} \psi = \int_B d\psi = \int_B dx_1 \wedge dx_2 \wedge dx_3 \wedge dx_4.$$

El último término es el volumen de la unidad de la bola en $\mathbb R^4$ e es $\pi^2/2$. Por tanto, su término es igual a $\operatorname{deg}(\phi)$.

La generalización a dimensiones superiores caso debe ser fácil.

Edición De aclarar, en general, para dos compacta orientable $n$-dimensiones del colector $M, N$, el grado de un buen mapa de $\phi : M\to N$ se define como $$\int_M \phi^* \alpha = \operatorname{deg}(\phi) \int_N \alpha, \ \ \ \forall \alpha$$ es siempre un número entero. Estoy siguiendo la sección 4 de Bott y Tu aquí. La anterior igualdad sólo depende de la cohomology de la clase $[\alpha]$ en lugar de $\alpha$ sí. Por lo tanto podemos suponer $\alpha$ es un bulto forma de apoyo en un pequeño conjunto abierto en torno a cualquier punto de $q\in N$. Dado un suave $\phi$, vamos a $q\in N$ regular valor de $\phi$ (que existe por Adrs del teorema). A continuación, $\phi^{-1}(q)$ es un compacto liso submanifold de dimensión $0$: es decir, un conjunto finito de puntos. También hay abierto barrio de $q\in N$, de modo que $\phi : \phi^{-1}(B) \to B$ es una cubierta. Así

$$\int_M \phi^* \alpha = \int_{\phi^{-1}(B)} \phi^* \alpha = \sum (\pm 1) \int_B\alpha$$

Esta $\sum (\pm 1)$ es el grado de $\phi$, usted tiene $\pm 1$ desde $\phi$ es un local diffeomorphism.