Deje ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4∈R ser real de las funciones con valores, de tal manera que
ϕj(x,y,z):(x,y,z)∈T3→ϕj(x,y,z)∈R.
Aquí T3 es un 3-toro, con j=1,2,3,4.
El ϕj(x,y,z) satisface una restricción 4∑j=1(ϕj)2=1, lo que significa que (ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4) es un vector en una 3-esfera S3.
Considere la integral calculada a partir del dominio de (x,y,z)∈T3 a la meta de (ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4)∈S3. Podemos elegir el T3 tiene una unidad de longitud 1, y el S3 tiene un radio de la unidad 1.
Pregunta 1:
Podemos demostrar que (2/π2)∫T3(ϵabcϕ1∂aϕ2∂bϕ3∂cϕ4)dxdydz∈Z? es valores enteros? (O hasta un delantero factor fijo.) Es esto cierto o es malo? (Al menos para cierta función del ϕj(x,y,z), encontrar la integral puede ser valores enteros.
(De bono, pero se puede omitir este de abajo, para reclamar la respuesta.)
Pregunta 2: De manera más general, hay algunos homotopy tipo de restricción, de tal manera que la integral de mapa desde el dominio Td a la esfera Sd, ciertos integral de la forma similar #∫Td(ϵμ1μ2μ3…μdϕ1∂1ϕ2…∂μd−1ϕd∂μdϕd+1)ddx∈Z? donde d∑j=1(ϕj)2=1, Hasta para una adecuada normalización #?