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Un mapa integral de Toro 3 T3 S3 de la 3-esfera

Deje ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4R ser real de las funciones con valores, de tal manera que

ϕj(x,y,z):(x,y,z)T3ϕj(x,y,z)R.

Aquí T3 es un 3-toro, con j=1,2,3,4.

El ϕj(x,y,z) satisface una restricción 4j=1(ϕj)2=1, lo que significa que (ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4) es un vector en una 3-esfera S3.

Considere la integral calculada a partir del dominio de (x,y,z)T3 a la meta de (ϕ1,ϕ2,ϕ3,ϕ4)S3. Podemos elegir el T3 tiene una unidad de longitud 1, y el S3 tiene un radio de la unidad 1.

Pregunta 1:

Podemos demostrar que (2/π2)T3(ϵabcϕ1aϕ2bϕ3cϕ4)dxdydzZ? es valores enteros? (O hasta un delantero factor fijo.) Es esto cierto o es malo? (Al menos para cierta función del ϕj(x,y,z), encontrar la integral puede ser valores enteros.


(De bono, pero se puede omitir este de abajo, para reclamar la respuesta.)

Pregunta 2: De manera más general, hay algunos homotopy tipo de restricción, de tal manera que la integral de mapa desde el dominio Td a la esfera Sd, ciertos integral de la forma similar #Td(ϵμ1μ2μ3μdϕ11ϕ2μd1ϕdμdϕd+1)ddxZ? donde dj=1(ϕj)2=1, Hasta para una adecuada normalización #?

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user99914 Puntos 1

Considerar las tres formas de ψ=x1dx2dx3dx4. Escribir ϕ:T3R4, ϕ=(ϕ1,,ϕ4). Entonces

T3ϕψ=T3ϕ1dϕ2dϕ3dϕ4=T3ϵabcϕ1bϕ2cϕ3cϕ4 dx dy dz.

Por otro lado,

T3ϕψ=deg(ϕ)S3ψ,

donde deg es el deg del mapa ϕ, que es un entero. Finalmente, por el teorema de Stokes,

S3ψ=Bdψ=Bdx1dx2dx3dx4.

El último término es el volumen de la unidad de la bola en R4 e es π2/2. Por tanto, su término es igual a deg(ϕ).

La generalización a dimensiones superiores caso debe ser fácil.

Edición De aclarar, en general, para dos compacta orientable n-dimensiones del colector M,N, el grado de un buen mapa de ϕ:MN se define como Mϕα=deg(ϕ)Nα,   α es siempre un número entero. Estoy siguiendo la sección 4 de Bott y Tu aquí. La anterior igualdad sólo depende de la cohomology de la clase [α] en lugar de α sí. Por lo tanto podemos suponer α es un bulto forma de apoyo en un pequeño conjunto abierto en torno a cualquier punto de qN. Dado un suave ϕ, vamos a qN regular valor de ϕ (que existe por Adrs del teorema). A continuación, ϕ1(q) es un compacto liso submanifold de dimensión 0: es decir, un conjunto finito de puntos. También hay abierto barrio de qN, de modo que ϕ:ϕ1(B)B es una cubierta. Así

Mϕα=ϕ1(B)ϕα=(±1)Bα

Esta (±1) es el grado de ϕ, usted tiene ±1 desde ϕ es un local diffeomorphism.

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