Espacios tangentes a la órbita de un grupo de Lie

Question

Deje $G\subset GL(n)$ ser una Mentira subgrupo y denotan $$M:=G x_0 = \{ Ax_0\ :\ Un\G\}\subconjunto \mathbb R^n,$$ donde $x_0\ne 0$ es un vector fijo en $\mathbb R^n$. A continuación, $M$ es un buen submanifold de $\mathbb R^n$.

Pregunta. Es cierto que $$\tag{1}A(T_{x_0} M)=T_{Ax_0} M,\qquad \forall A\in G\ ?$$

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A primera vista, yo diría que (1) es verdadera. Sin embargo, si la Mentira álgebra $\mathfrak g$ está dado por $$\mathfrak g = \text{span}\ (g_1, g_2\ldots g_m),$$ entonces $$T_{x_0} M = \text{span}\, (g_1 x_0, \ldots ,g_mx_0),$$ y de forma análoga $$T_{Ax_0} M=\text{span}\, (g_1 Ax_0, \ldots, g_mAx_0),$$ mientras $$Un(T_{x_0} M) = \text{span}\, (Ag_1 x_0, \ldots ,Ag_mx_0),$$ y no veo una razón por la que los últimos dos espacios vectoriales deben coincidir. No sé cómo manejar los conmutadores $[g_j, A]$ donde$g_j\in\mathfrak g$$A\in G$.

Answer 1

La restricción$f_A$ del mapa$A$ a$M$ induce un difeomorfismo de$M$, observación$df_A=A$ ya que$A$ es lineal. Tenemos$f_A(x_0)=A(x_0)$ y$df_A(T_{x_0}(M))=A(T_{x_0}M)=T_{f_A(x_0)}M=T_{A(x_0)}M$.

Answer 2

Me gustaría complementar Tsemo respuesta, que es corto y elegante, con un par de comentarios.

Tsemo argumento muestra que el $T_{Ax_0} M = A(T_{x_0} M)$, que es $$\etiqueta{1} \text{span}\, ( g_1 Un x_0, \ldots ,g_n Ax_0) = \text{span}\,(Ag_1 x_0,\ldots, Ag_n x_0).$$ Esta identidad puede ser probado directamente, mediante la observación de que $$\etiqueta{2} A^{-1} g \en \mathfrak g, \qquad \forall g\en\mathfrak g,\ \forall\in G$$ por lo tanto, incluso si $g_jA\ne Ag_j$ en general, no obstante, es cierto que $g_jA$ es una combinación lineal de $Ag_1,\ldots Ag_n$, y (1) de la siguiente manera, desde básico de álgebra lineal.

Ahora, la identidad (2) es un hecho básico de resumen Mentira teoría de grupo y parece bastante trivial. He tratado de probar (2) a través de la matriz exponencial, es decir, teniendo en $A=e^{\lambda h}$$h\in \mathfrak g$. Entonces (2) es equivalente a $$\left(1-\lambda h +\frac{\lambda^2}{2}h^2 -\ldots\right) g \left(1+\lambda h +\frac{\lambda^2}{2} h^2+\ldots\right)\in \mathfrak g,$$ que parece mucho menos obvio. He calculado algunos de los términos del lado izquierdo; $$g +\lambda(gh-hg)+\frac{\lambda^2}{2}(h^2g+gh^2-2hgh)+\ldots$$ y para mi sorpresa, he descubierto que la igualdad de $$g+\lambda [g, h] +\frac{\lambda^2}{2}[[g,h],h]+\ldots$$ lo que está en acuerdo con (2), ya que las combinaciones lineales de los conmutadores en $\mathfrak g$$\mathfrak g$. De hecho, esta es la definición de álgebra de la Mentira.

La moraleja es que el moderno punto de vista en la Mentira de grupos y álgebras de Lie es realmente impresionante, pero también puede buscar un montón secador de lo que realmente es.