Demuestre que si $|f(z)| \leq M |z|^n$ entonces $f$ es un polinomio de grado máximo n

Question

No puedo demostrar esta afirmación, ¿alguien puede mostrarme cómo demostrarla?

$$f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C} \in \mathcal{O}(\mathbb{C}), \exists n\in \mathbb{N}, R >0 , M>0 : |f(z)| \le M|z|^{n} \ \ \forall |z|>R \Rightarrow \deg(f)\le n $$

Demostrar es que si existe tal $M$ que entonces $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ . Empecé así:

$$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n$$ Así que si pongo esto en la desigualdad: $$|f(z)| = \left| \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z-z_0)^n \right| \le M |z|^n .$$

Answer 1

Tenemos para $k\geq 1$ , $z_0\in\mathbb C$ fijo y $r$ tal que $\{z,|z-z_0|=r\}\subset\{z\in\mathbb C,|z|\geq R\}$ tenemos gracias a la fórmula integral de Cauchy $$f^{(n+k)}(z_0) =\frac{(n+k+1)!}{2i\pi}\int_{C(z_0,r)}\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+k+1}}dz,$$ por lo que $$|f^{(n+k)}(z_0)|\leq \frac{(n+k+1)!}{2\pi}\int_{C(z_0,r)}M\frac{|z|^n}{r^{n+k+1}}\leq \frac{(n+k+1)!}{r^{n+k+1}}M(r+|z_0|)^n.$$ Como es cierto para $r$ lo suficientemente grande, obtenemos que $f^{(n+k)}(z_0)=0$ para cada $z_0$ y $k\geq 1$ que demuestran que $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ .