Su pregunta surge del hecho de que muchos textos correctamente la distinción entre el meta-sistema real y el sistema formal bajo estudio. Usted, en todo momento, están haciendo matemáticas en el meta-sistema, y en el campo de la lógica matemática estudia algún sistema formal (tal como la que tenemos aquí con algunas reglas sintácticas para la formación de bien formado fórmulas (wff) y una regla deductiva y tres axiomas). Por lo tanto, vamos nosotros precisamente los expresan, y verás.
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\def\comilla#1{{`}#1{"}}
\def\meta#1{\mathbin{\dot#1}}
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Reglas sintácticas
Tenga en cuenta que wffs son cadenas. Dadas dos cadenas de $x,y$ lo vamos a utilizar "$x+y$" para denotar la concatenación de $x$, seguido por $y$. También debe utilizar comillas para especificar las cadenas literales. Por ejemplo, usted es una persona, sino que "usted" es una cadena.
Cierre bajo negación: Dado cualquier wff $A$, la cadena de $\quote\neg+A$ es también un wff.
Cierre bajo implicación: Dado cualquier wffs $A,B$, la cadena de $\quote(+A+\quote\to+B+\quote)$ es también un wff.
Nota cómo he utilizado la comilla de las marcas anteriores. Sería técnicamente incorrecto escribir:
... la cadena de $(A \to B)$ es también un wff. (técnicamente incorrecta)
Porque el "$\to$" y los corchetes son símbolos en el sistema formal bajo estudio, no símbolos en el meta-sistema que estamos usando!
Reglas deductivas
El sistema bajo estudio sólo tiene una regla deductiva:
Dado cualquier wffs P,Q, si han sacado $P$$\quote(+P+\quote\to+Q+\quote)$, entonces usted puede deducir $Q$.
De nuevo, tenga en cuenta cómo solía citar marcas.
Abbreviative definiciones
Ahora llegamos a la denominada "definición" de "$\land$":
Tomar cualquier cadenas de $A,B$. La cadena de $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es no un wff en el sistema formal bajo estudio, simplemente porque "$\land$" no es un símbolo en su idioma. Sin embargo, deseamos utilizar esta cadena reposar $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$.
Este deseo no es trivial para cumplir rigurosamente. La manera más sencilla de hacerlo correctamente es agregar una regla sintáctica para el cierre de wffs en $\quote\land$:
Cierre bajo conjunción: Dado cualquier wffs $A,B$, la cadena de $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es también un wff.
y, a continuación, comprobar que todavía se puede analizar de forma exclusiva (interpretar) un wff, así que tiene sentido para estipular que el $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es reescrito como $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$ antes del análisis, para obtener nuestro deseo.
Como se observa, una reescritura-la regla es no un axioma.
¿Qué es que la 'igualdad'?
Tenga en cuenta que yo no he dicho eso $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es de la misma cadena como $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$, porque es, por supuesto, falsa. Sólo estamos usando una reescritura de la regla; las cadenas que ellos mismos no son iguales.
Ustedes son igualmente libres para 'definir' cualquier otra notación de la misma manera, el uso de reescritura-reglas, y usted tendrá que lidiar con el mismo problema de un único análisis. Esto sucede en las matemáticas sí mismo así. Cuando se define una nueva notación es importante que sólo hay una manera de leer cosas.
Así, mientras que es técnicamente mal estado, esta reescritura-regla de la igualdad, es intuitivamente 'igual' en el sentido de ser lógicamente equivalentes, desde el final de análisis es el mismo.
Espero que esto se refiere a su consulta. Si todo está claro, usted puede seguir leyendo. Hay una diferente manera de ir sobre la lógica de que en realidad iba a hacer lo que es técnicamente incorrecto anterior correcta, pero puede ser confuso a menos que usted entiende completamente la manera más concreta de arriba.
Meta-operadores
En primer lugar vamos a ver cómo podemos resumen la wff formación:
Dado cualquier cadena de $A$, definir $\meta\neg A = \quote\neg+A$.
Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\to B = \quote(+A+\quote\to+B+\quote)$.
Tenga en cuenta que a diferencia de las cadenas de $\quote\neg$ y $\quote\to$, $\meta\neg$ y $\meta\to$ son operaciones sobre cadenas de caracteres (en el meta-sistema). Así que, de hecho, puede hacer lo siguiente:
Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\land B = \meta\neg( A \meta\to (\meta\neg B) )$.
Tenga en cuenta que los soportes de aquí están en el meta-sistema, utilizado a fin de que sabemos que la cadena de operación a realizar en primer lugar. Si usamos el típico reglas de precedencia, es decir, que $\meta\neg$ es mayor prioridad que $\meta\to$, entonces podría haber hecho lo siguiente:
Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\land B = \meta\neg( A \meta\to \meta\neg B )$.
Una más abstracta manera de conceptualizar esto es que $\meta\to$ $\meta\neg$ son en realidad operaciones en analizar los árboles en lugar de cadenas, y por lo que la definición anterior de $\meta\land$ es simplemente una definición de una nueva operación de analizar los árboles en términos de previamente definidas.
La pregunta que puede surgir en este punto es: ¿por Qué no lo hacemos de esta manera y no el uso de cadenas en todo? La respuesta simple es que la única manera completamente formalizar un sistema formal es ser capaz de codificarla en algunos representación lineal, tales como cadenas, por lo que todavía va a tener que decidir exactamente cómo codificar wffs como cadenas. De manera similar al uso de la lógica en el papel. Por lo tanto el hormigón primer enfoque es en última instancia la manera práctica.