5 votos

¿Definiciones que introducir axiomas en lógica?

Una cosa que me parece confuso en lógica proposicional es que tenemos cosas como axiomas y reglas de inferencia, pero luego parece que somos capaces de definir lo que queremos en la sintaxis que no necesariamente se adhieren a el axioma de formatos.

Por ejemplo

https://en.wikipedia.org/wiki/Propositional_calculus#Example_1._Simple_axiom_system

Este ejemplo utiliza el modus ponens regla de inferencia:

$P, P \to Q \vdash Q$

Y los siguientes axiomas:

I. $(p \to (q \to p))$

II. $((p \to (q \to r)) \to ((p \to q) \to (p \to r)))$

III. $((\lnot p \to \lnot q) \to (q \to p))$

Tenemos la $\lnot$ $\to$ operador en el lenguaje, pero, a continuación, definimos $a \land b = \lnot(a \to \lnot b)$, incluso aunque este formato no coincide con ninguna de las tres axiomas, ni hemos definido la igualdad.

¿Por qué es esto permitido? Lo que se nos permite definir? ¿Qué estamos incluso mediante modus ponens y los axiomas de si podemos hacer cualquier cosa?

7voto

Ken Puntos 687

Puede definir cualquier cosa que usted desea. Sin embargo, el punto de la definición de algo es hacer que sea más fácil referirse a, lo que significa que la mayoría de las definiciones útiles son para cosas que son:

(a) con frecuencia se refiere;

(b) no es trivial; y a menudo

(c) similar a algo más

Así, por ejemplo, definimos $\wedge$ porque permite un montón de accesos directos en la escritura de la lógica proposicional, y que pasa a alinear con la comprensión general de la palabra "y". El "=" en la definición no es realmente parte de la lógica, es una parte de la lengua que lo rodean, y sabemos que hay un nivel en el que tenemos que recurrir a un entendimiento común ya que sólo se pueden abstracto cosas hasta ahora.

Por otro lado, lo que probablemente no molestar a venir para arriba con una definición de la expresión "el conjunto de todos los números primos en $\mathbb{N}$", porque es simple basta decir $\{2\}$. O si lo hice definirlo, sería sólo para un número muy limitado de contexto (por ejemplo, una en la que yo realmente necesitaba probar que 2 es el único elemento en el conjunto), así que podría conseguir lejos con una definición genérica como $A$.

6voto

user21820 Puntos 11547

Su pregunta surge del hecho de que muchos textos correctamente la distinción entre el meta-sistema real y el sistema formal bajo estudio. Usted, en todo momento, están haciendo matemáticas en el meta-sistema, y en el campo de la lógica matemática estudia algún sistema formal (tal como la que tenemos aquí con algunas reglas sintácticas para la formación de bien formado fórmulas (wff) y una regla deductiva y tres axiomas). Por lo tanto, vamos nosotros precisamente los expresan, y verás. $ \def\comilla#1{{`}#1{"}} \def\meta#1{\mathbin{\dot#1}} $

Reglas sintácticas

Tenga en cuenta que wffs son cadenas. Dadas dos cadenas de $x,y$ lo vamos a utilizar "$x+y$" para denotar la concatenación de $x$, seguido por $y$. También debe utilizar comillas para especificar las cadenas literales. Por ejemplo, usted es una persona, sino que "usted" es una cadena.

Cierre bajo negación: Dado cualquier wff $A$, la cadena de $\quote\neg+A$ es también un wff.

Cierre bajo implicación: Dado cualquier wffs $A,B$, la cadena de $\quote(+A+\quote\to+B+\quote)$ es también un wff.

Nota cómo he utilizado la comilla de las marcas anteriores. Sería técnicamente incorrecto escribir:

... la cadena de $(A \to B)$ es también un wff. (técnicamente incorrecta)

Porque el "$\to$" y los corchetes son símbolos en el sistema formal bajo estudio, no símbolos en el meta-sistema que estamos usando!

Reglas deductivas

El sistema bajo estudio sólo tiene una regla deductiva:

Dado cualquier wffs P,Q, si han sacado $P$$\quote(+P+\quote\to+Q+\quote)$, entonces usted puede deducir $Q$.

De nuevo, tenga en cuenta cómo solía citar marcas.

Abbreviative definiciones

Ahora llegamos a la denominada "definición" de "$\land$":

Tomar cualquier cadenas de $A,B$. La cadena de $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es no un wff en el sistema formal bajo estudio, simplemente porque "$\land$" no es un símbolo en su idioma. Sin embargo, deseamos utilizar esta cadena reposar $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$.

Este deseo no es trivial para cumplir rigurosamente. La manera más sencilla de hacerlo correctamente es agregar una regla sintáctica para el cierre de wffs en $\quote\land$:

Cierre bajo conjunción: Dado cualquier wffs $A,B$, la cadena de $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es también un wff.

y, a continuación, comprobar que todavía se puede analizar de forma exclusiva (interpretar) un wff, así que tiene sentido para estipular que el $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es reescrito como $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$ antes del análisis, para obtener nuestro deseo.

Como se observa, una reescritura-la regla es no un axioma.

¿Qué es que la 'igualdad'?

Tenga en cuenta que yo no he dicho eso $\quote(+A+\quote\land+B+\quote)$ es de la misma cadena como $\quote{\neg(}+A+\quote{\to\neg}+B+\quote)$, porque es, por supuesto, falsa. Sólo estamos usando una reescritura de la regla; las cadenas que ellos mismos no son iguales.

Ustedes son igualmente libres para 'definir' cualquier otra notación de la misma manera, el uso de reescritura-reglas, y usted tendrá que lidiar con el mismo problema de un único análisis. Esto sucede en las matemáticas sí mismo así. Cuando se define una nueva notación es importante que sólo hay una manera de leer cosas.

Así, mientras que es técnicamente mal estado, esta reescritura-regla de la igualdad, es intuitivamente 'igual' en el sentido de ser lógicamente equivalentes, desde el final de análisis es el mismo.


Espero que esto se refiere a su consulta. Si todo está claro, usted puede seguir leyendo. Hay una diferente manera de ir sobre la lógica de que en realidad iba a hacer lo que es técnicamente incorrecto anterior correcta, pero puede ser confuso a menos que usted entiende completamente la manera más concreta de arriba.

Meta-operadores

En primer lugar vamos a ver cómo podemos resumen la wff formación:

Dado cualquier cadena de $A$, definir $\meta\neg A = \quote\neg+A$.

Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\to B = \quote(+A+\quote\to+B+\quote)$.

Tenga en cuenta que a diferencia de las cadenas de $\quote\neg$ y $\quote\to$, $\meta\neg$ y $\meta\to$ son operaciones sobre cadenas de caracteres (en el meta-sistema). Así que, de hecho, puede hacer lo siguiente:

Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\land B = \meta\neg( A \meta\to (\meta\neg B) )$.

Tenga en cuenta que los soportes de aquí están en el meta-sistema, utilizado a fin de que sabemos que la cadena de operación a realizar en primer lugar. Si usamos el típico reglas de precedencia, es decir, que $\meta\neg$ es mayor prioridad que $\meta\to$, entonces podría haber hecho lo siguiente:

Dado cualquier cadenas de $A,B$, definir $A \meta\land B = \meta\neg( A \meta\to \meta\neg B )$.

Una más abstracta manera de conceptualizar esto es que $\meta\to$ $\meta\neg$ son en realidad operaciones en analizar los árboles en lugar de cadenas, y por lo que la definición anterior de $\meta\land$ es simplemente una definición de una nueva operación de analizar los árboles en términos de previamente definidas.

La pregunta que puede surgir en este punto es: ¿por Qué no lo hacemos de esta manera y no el uso de cadenas en todo? La respuesta simple es que la única manera completamente formalizar un sistema formal es ser capaz de codificarla en algunos representación lineal, tales como cadenas, por lo que todavía va a tener que decidir exactamente cómo codificar wffs como cadenas. De manera similar al uso de la lógica en el papel. Por lo tanto el hormigón primer enfoque es en última instancia la manera práctica.

4voto

Andreas Blass Puntos 33024

Voy a suponer que estás mezclando dos diferentes nociones, a saber, "bien formado" y "lógicamente válida". (Supongo que es cierto que se basa sólo en una pieza pequeña de uno de sus comentarios, a saber, "válido / tiene sentido".)

De esos dos conceptos, sólo "bien formado" es relevante para las definiciones. Usted puede definir nuevos símbolos para abreviar cualquier bien formado fórmula, por ejemplo,$\neg(a\to\neg b)$. El bien formado fórmulas son las que "tienen sentido", es decir, tienen un valor de verdad una vez que usted especifique la verdad de valores para las variables en ellos. Por ejemplo (verifique esto con una tabla de verdad, si aún no lo ha hecho ya), $\neg(a\to\neg b)$ es true si los dos $a$ $b$ son verdaderas, pero la $\neg(a\to\neg b)$ es falso en todas las demás circunstancias.

De las dos nociones, sólo "lógicamente válido" se rige por los axiomas y reglas de inferencia. Los axiomas son ciertos, seleccionado, lógicamente válidas las fórmulas, y las reglas de inferencia que nos permita producir adicionales lógicamente válidas las fórmulas a partir de los axiomas. Nunca vamos a producir $\neg(a\to\neg b)$ de que manera, porque no es lógicamente válido. Como se indicó anteriormente, es falso que a veces (siempre que al menos uno de $a$ $b$ es falso).

Por lo $\neg(a\to\neg b)$ no es válido, pero está bien formado. En otras palabras, no es cierto siempre, pero siempre tiene sentido, siempre tiene un valor de verdad (al $a$ $b$ tienen valores de verdad). Y esto último es lo que se necesita para la define la expresión $a\land b$ a tener sentido.

0voto

user11300 Puntos 116

La cuestión clave aquí es la solidez.

El propósito de las definiciones en el cálculo proposicional se encuentra en la conversión de las nociones de no utilizar el primitivo conectivas en el bien formado fórmulas utilizando sólo la primitiva conectivas, y haciendo lo contrario. En otras palabras, las definiciones que existen para traducir entre las conectivas.

Hay una manera alternativa de expresar las definiciones de tener un cálculo proposicional con functorial variables en lugar de un cálculo proposicional sin functorial variables. Básicamente, resulta que las definiciones que definen las conectivas convertir en tautologías con functorial variables de la forma (en notación polaca)

C $\delta$x $\delta$y

donde x es el lado uno de la definición, y es el otro lado de la definición. También resulta que si C $\delta$x $\delta$y, a continuación, Exy, y si Exy entonces C $\delta$x $\delta$y. En consecuencia, cada definición tiene la propiedad de que de un lado es lógicamente equivalente a el otro lado de la definición. Así, para cualquier definición de un conectivo, si bien formada fórmula se escribe en notación polaca, el conectivo debe aparecer una vez como el primer símbolo en el bien formado fórmula y sólo aparecen una vez en ese bien formado fórmula. Si alguna otra fórmula es igual, entonces uno puede razonablemente definir que conectivo por que otra fórmula.

Por ejemplo, una definición común (de nuevo en notación polaca) es:

Apq := CNpq

que define la lógica de la disyunción, en términos de implicación y negación. Pero, desde

E Apq CCpqq

es una tautología también, y aparece el primer símbolo en 'Apq' y sólo aparece una vez en 'Apq', uno podría usar 'CCpqq' definir 'A' en lugar de usar 'CNpq'.

Volver sobre tus preguntas una por una:

"¿Por qué es esto permitido?"

Porque cada vez que una instancia de la fórmula (una vez paréntesis se restaura) en un lado aparece dentro de una bien formada fórmula W, se puede reemplazar puede obtener reemplazado por la fórmula (una vez paréntesis se restaura) sobre el derecho sin W' cambio de true a false, o de falso a verdadero. O, en pocas palabras, la definición de reemplazo preserva la verdad (esta propiedad es inmediatamente evidente para una fórmula como C $\delta$x $\delta$y una vez que entienda cómo la sustitución de $\delta$ funciona). Por lo tanto, no da lugar a una nulidad. Por lo tanto, si los axiomas son el sonido, la definición de reemplazo conserva la solidez.

"Lo que se nos permite definir?"

Cualquier conectivo puede obtener definidos en términos de fórmulas sólo tener la primitiva conectivas del sistema. Esto se hace para asegurar que el sistema es la adecuada.

"¿Qué estamos incluso mediante modus ponens y los axiomas de si podemos hacer cualquier cosa?"

Debido a que sólo un subconjunto o subclase de "lo que sea", se califica como lógicamente sonido. Modus ponens es el sonido. Así son los axiomas. Las definiciones también son el sonido, o el trabajo como en consonancia con solidez. Así que, de nuevo, la cuestión clave aquí es la solidez.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X