Resolviendo

Question

Estoy interesado en la solución de la siguiente ecuación en $[0,1]$ $$px^n - x + (1-p)=0$$

donde $p \in [0,1]$ $n \in \mathbb N -\{1,2 \} $ constante.

Para empezar, podemos ver fácilmente que el $x=1$ es una solución y también sé que no hay otra solución en $[0,1]$ por cada $n \in \mathbb N -\{1,2 \}$, y para todos los $p> p_c (n)$ . He intentado usar el método de Horner con $(x-1)$ obtenemos :

$$(x-1)(px^{n-1} + px^{n-2}+..+ px^2 + px+p-1)=0 $$

Así, obtenemos $(px^{n-1} + px^{n-2}+..+ px^2 + px+p-1)=0 $ . Entonces que podemos hacer : $$ x^{n-1} + x^{n-2}+..+ x=\frac{1-p}{p}$$

o $$\frac{x^n-1}{x-1}=\frac{1-p}{p}+1 $$

Pero esto no parece dar algo útil. Alguna idea sobre cómo podemos resolver esto?

Answer 1

Si $x\in (0,1)$ de $n\in\mathbb{N}-{1,2}$ grande tenemos $p\cdot x^n\approx 0$. Tenemos $px^n-x+(1-p)=0$ y $p\cdot x^n\approx 0$ implica $$ - x +(1-p) \approx 0 $$ entonces $x\approx 1-p$.

Answer 2

Vamos a escribir $$ \left\{ \matriz{ f(x) = p\,x^{\n} - x + \left( {1 - p} \right) \hfill \cr g(x) = {{f(x)} \over {x - 1}} = p{{x^{\n} - 1} \over {x - 1}} - 1 = \hfill \cr = p\left( {1 + x + \cdots + x^{\,n - 1} } \right) - 1 \hfill \cr} \right. $$

Tenemos que $g(x)$ es continua, y $$ \left\{ \matriz{ g(0) = p - 1 \le 0\quad \left| {\;p \le 1} \right. \hfill \cr 0 \le g(1) = n\,p - 1\quad \left| {\;1/n \le p} \right. \hfill \cr 0 \le g'(x) = p\left( {1 + 2x + \cdots + \left( {n - 1} \right)x^{\,n - 2} } \right)\quad \left| \matriz{ \;0 \le la p \hfill \cr \;2 \le n \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. $$ así que, para$1/n <p \le 1$$2 \le n$:
$g(0)$ es no positivo, $g(1)$ es positivo, g(x) es estrictamente creciente en el intervalo,
entonces usted tendrá una (y sólo una) a raíz real en el intervalo de $[0,1)$, lo que confirma lo que ustedes ya saben.

Como para el cálculo de la raíz, no veo ningún otro método es el uso de la Newton - Raphson o el secante aproximación, comenzando con $P_0,P_1$ a partir del boceto.