Cómo determinar si esta serie converge o diverge

Question

¿Cómo puede determinar si esta serie converge o diverge?

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n)^{n^2}}{(n+1)^{n^2}}$$

Answer 1

Puede utilizar la prueba de la raíz:

$$\lim{n\to \infty} \sqrt[n]{\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2}}=\lim{n\to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}=\lim_{n\to \infty} \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n+1\frac{n}{n+1}}=e^{-1}$$

Porque $0<e absolutamente.="" converge="" la="" suma=""></e>

Answer 2

Similar a la respuesta del armónico sol. $$y_n=\frac{n^{n^2}}{{(n+1)}^{n^2}}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n^2}\implies \log(y_n)=-n^2\log\left(1+\frac{1}{n}\right)$ $ Con Taylor serie $$\log(y_n)=-n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2 n^2}+\frac{1}{3 n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\right)=-n+\frac{1}{2}-\frac{1}{3 n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$$ Now, since $n\to \infty$, $$y_n=e^{\log(y_n)}\sim \sqrt e\,e^{-n}$ $

Answer 3

Ya que por la desigualdad de Bernoulli

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\ge1+n\cdot \frac1n=2$$

tenemos

$$\frac{n^{n^2}}{{(n+1)}^{n^2}}=\frac1{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}}\le\frac1{2^{n}}$$

que converge en comparación prueba $\sum 1/n^2$.

Answer 4

(En mi respuesta, "o" denota la "pequeña o la notación". Ver aquí.)

Es bastante sencillo con algunos análisis asintótico :

$$\frac{n^{n^2}}{{(n+1)}^{n^2}}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n^2}$$ $$=e^{-n^2\ln(1+\frac{1}{n})}$$ $$=e^{-n^2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}+o\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)}$$ (Usando aquí los 3 primeros términos de la asymotic expansión de $\ln(1+\frac{1}{n})$ para la gran n) $$=e^{-n+\frac{1}{2}-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}$$ $$=e^{-n+\frac{1}{2}}\cdot e^{-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}$$ $$=\sqrt{e}\cdot e^{-n}\cdot e^{-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}$$ Y desde $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)\right)=0,$ tenemos $\lim\limits_{n\rightarrow\infty}e^{-\frac{1}{3n}+o\left(\frac{1}{n}\right)}=1$

Y así, asintóticamente, tenemos $\frac{n^{n^2}}{{(n+1)}^{n^2}}\sim\sqrt{e}\cdot e^{-n}$, que es una serie geométrica convergente de la relación de $\frac{1}{e}$.

Answer 5

Un poco había reformulada Theo Bennet y Gimusi.

$\left(1+\frac1n\right)^n = 1+n\left(\frac1n\right)+\ldots>2$

$\dfrac{1}{\left[\left(1+1/n\right)^n\right]^n} \lt \dfrac{1}{2^n}.$

Prueba de comparación.