Operadores compuestos en teoría topológica/Conformal del campo

Question

En prácticamente cualquier referencia en la conformación o cohomological la teoría de campo, que finalmente va a ver una fórmula como: $$\frac{\delta}{\delta h^{\alpha \beta}}\langle\mathcal{O}_1(x_1)...\mathcal{O}_n(x_n)\rangle = \frac{1}{4\pi}\int d^2x \sqrt{h} \langle T_{\alpha \beta}(x)\mathcal{O}_1(x_1)...\mathcal{O}_n(x_n)\rangle$$

Aquí, $h_{\alpha \beta}$ es el worldsheet métrica, $T_{\alpha \beta}$ es la energía-impulso del tensor, y $\mathcal{O}_i$ son algunos de los locales de los operadores físicos. Ingenuamente, podemos deducir esto por la simple expresión de la función de correlación como un camino integral sobre los campos y tomar el variacional derivado directamente. Si alguna vez has trabajado con alguna de las teorías explícitamente, para obtener un buen $T_{\alpha \beta}$ (por ejemplo, en el CFT caso, uno que tiene el derecho conmutadores con sí mismo y de los campos primarios), se tiene que especificar alguna opción de realizar el pedido para evitar compuesto operador de singularidades. ¿Cómo funciona la ruta integral argumento de tener esto en cuenta? Estoy tentado a simplemente onda de lejos y decir que la definición correcta de la ruta integral de medida contiene la dependencia de $h_{\alpha \beta}$, y esto le garantiza $T_{\alpha \beta}$ sale correctamente, pero esto parece ser demasiado vagas. En el CFT caso, esto no es tan importante ya que la ruta integral toma un asiento, pero en TQFTs este tipo de argumentos formales son instrumentales en demostrar que los invariantes topológicos en realidad son invariantes, así que tengo curiosidad por saber cómo conectar el formal generalidades con la más manos en consideraciones como la de ordenar.

De manera más general, cuando tratamos con otros objetos importantes como la sobrecarga a la que puede estar compuesto de operadores, cómo se hace la ruta de la imagen integral que tome en cuenta la correcta ordenación? Parece bastante fácil de tomar las ordenadas correctamente los operadores como nuestra definición, pero ¿cómo estamos seguros de que la ruta integral de acuerdo con esta definición?

Answer 1

El principio general es que sólo es consistente para agregar un normal-ordenó operador a la acción cuando la normal de pedido puede ser anulado por una elección adecuada de counterterms. (Esto se explica en que toda la gloria detalle aquí: https://arxiv.org/abs/1512.02604. Se refieren a la v1 de este documento para obtener más información sobre la noción usual de la normal de ordenar lo opuesto a 'normal completa pedido'.)

Por ejemplo, en el caso de 2d gratis campo de la teoría (como superstrings en fondos planos), puede deshacer la normal de ordenar de $T_{ab}$ (o, por el contrario, puede implementarlo) mediante la adición de un counterterm a las 2d constante cosmológica. Como estoy de abordar una posible audiencia más amplia que voy a mencionar también que a pesar de los últimos saltos de invariancia conforme clásicamente, se requiere, en cualquier caso, para preservar la invariancia conforme al nivel cuántico. Para ser precisos, esto implica que un 2d constante cosmológica es generado por la ruta integral de medida (por Polchinski del principio de ultralocality), así que por esta razón su mano saludando argumento también es correcto.

Cuando su teoría no es libre en el mismo principio mencionado en el párrafo primero aún se mantiene, pero aquí normal de ordenar no es suficiente para tener una bien definida compuesto operador.