Encontrar el grado mínimo de una representación de un álgebra

Question

Estoy leyendo este y en él los autores hacen la siguiente afirmación (Ec. 27 en el documento):

Primero demuestran que un determinado subespacio de $\mathbb{C}^N$ es invariante bajo un conjunto de operadores unitarios $\{Z_i, Y_i\}$ , $i=1,...,\alpha$ , satisfaciendo

• $[Z_i,Z_j]=0$
• $[Y_i,Y_j]=0$
• $[Y_i,Z_j]=0\quad$ proporcionado $i\neq j$
• $Y_iZ_i=e^{2\pi i p/q}Z_iY_i\qquad$ ( $p/q$ es una fracción en la forma más baja)

Continúan diciendo que el álgebra generada por el $\{Z_i,Y_i\}$ puede representarse en este subespacio; en otras palabras, restringiendo el $Z_i,Y_i$ para actuar sólo en este subespacio, podemos obtener una representación de menor dimensión del álgebra. Esto tiene sentido. Entonces dicen que esta representación debe tener grado al menos $q^{\alpha}$ , donde $q$ es el denominador en el cuarto punto. No entiendo cómo llegan a esta conclusión.

¿Cómo podemos concluir, a partir de las relaciones entre los generadores, que no podemos tener una representación compleja más pequeña que el grado $q^\alpha$ ? ¿Existe un método en general para encontrar el grado mínimo de una representación a partir de alguna presentación de un álgebra?

Answer 1

Sólo he enumerado algunas observaciones. Todavía no estoy del todo contento con esto y no es una solución completa - no he estudiado el documento, y tengo que dejar la construcción de la representación para más adelante. En este punto mostraré que la dimensión de la representación debe ser un múltiplo de $q^\alpha$ . Si podemos entonces exhibir una representación de dimensión mínima $q^\alpha$ hemos terminado.

La cuestión es que los corolarios de las relaciones dadas obligan a las dimensiones de las representaciones a subir de una manera un tanto análoga a la forma en que las relaciones de conmutación que involucran a los operadores de escalera de un álgebra de Lie simple.

Veamos una representación no trivial de esta álgebra en el caso $\alpha=1$ . Supongamos que $Z_1$ tiene un valor propio no nulo $\lambda$ . Sea $v$ sea un vector propio perteneciente a este valor propio. Aplicando la cuarta relación obtenemos $$ \lambda Y_1 v= Y_1Z_1v=\zeta Z_1Y_1v, $$ donde $\zeta=e^{2\pi i p/q}$ es la raíz prescrita de la unidad. Reescribiendo esto en la forma $$Z_1(Y_1v)=\zeta^{-1}\lambda (Y_1v)$$ muestra que $Y_1v$ es un vector propio de $Z_1$ perteneciente al valor propio $\zeta^{-1}\lambda$ .

Enjuague. Repetir. Vemos que para todos los enteros $\ell$ el vector $Y_1^\ell v$ es un vector propio de $Z_1$ perteneciente al valor propio $\zeta^{-\ell}\lambda$ . Como $\zeta$ tiene orden $q$ esto obliga a $Z_1$ tener (al menos) $q$ valores propios distintos. Recordemos que los vectores propios que pertenecen a diferentes valores propios son necesariamente independientes linealmente. Además (denotando por $V_{\lambda,1}$ el eigespacio de $Z_1$ perteneciente al valor propio $\lambda$ ) :

• Por el argumento anterior, la acción de $Y_1$ mapas $V_{\lambda,1}$ inyectada en $V_{\zeta^{-1}\lambda,1}$ . La inyectividad se deduce del hecho de que $Y_1$ es unitaria.
• Después de recorrer el círculo completo de valores propios vemos que en realidad debemos tener (suponiendo una representación de dimensión finita) $$\dim V_{\zeta^\ell\lambda,1}=\dim V_{\lambda,1}.$$
• En particular, la dimensión de toda la representación es un múltiplo de $q$ (es necesario comprobar que $q$ es posible).

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Añadamos más generadores. Cuando $\alpha=2$ las relaciones de conmutación implican que tanto $Z_2$ et $Y_2$ mantienen los eigenspaces de $Z_1$ estable. En otras palabras, los eigenspaces $V_{\lambda,1}$ llevan una representación del álgebra generada por $Z_2$ et $Y_2$ . Repitiendo el argumento anterior una vez más se demuestra que las dimensiones de todos los espacios $V_{\zeta^\ell\lambda,1}$ son múltiplos de $q$ . En consecuencia, teniendo en cuenta el último punto, la dimensión de una representación del álgebra generada por $\{Z_1,Z_2,Y_1,Y_2\}$ es un múltiplo entero de $q^2$ . Siendo ese multiplicador entero la dimensión de un eigespacio común $V_{\lambda,1,\mu,2}$ de $Z_1$ et $Z_2$ . Es de esperar que cuando añadimos $Z_3$ et $Y_3$ esos subespacios $V_{\lambda,1,\mu,2}$ se convierten en subrepresentaciones, y podemos seguir.