¿Es posible que $\text{lcm}(zx, zy)$ existe pero $\text{lcm}(x, y)$ ¿No?

Question

¿Es posible encontrar un ejemplo de dominio integral $D$ y un par de elementos distintos de cero $x$ y $y$ en $D$ tal que $\text{lcm}(zx, zy)$ existe para algún elemento distinto de cero $z$ en $D$ pero $\text{lcm}(x, y)$ ¿no?

Definición de mínimo común divisor (mcm): Sea $a$ y $b$ sean elementos de un anillo conmutativo $R$ . Un múltiplo común de $a$ y $b$ es un elemento $m$ de $R$ tal que existen elementos $x$ y $y$ de $R$ tal que $ax = by = m$ . Mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es un múltiplo común $m$ de $a$ y $b$ que es mínimo en el sentido de que para cualquier otro múltiplo común $n$ de $a$ y $b$ , $n=zm$ para algunos $z$ en $R$ .

Answer 1

Sea $M$ sea el mínimo común múltiplo de $zx$ y $zy$ . Está claro que $z$ divide $M$ , digamos $M=zm$ para que podamos ver si $m$ cumple las propiedades para ser el mínimo común múltiplo de $x$ y $y$ .

Primero, $M=azx=bzy$ Así que $m=ax=by$ .

Supongamos $r$ es un múltiplo común de $x$ y $y$ . Entonces $zr$ es un múltiplo común de $zx$ y $zy$ Por lo tanto $M=zm$ divide $zr$ . Por lo tanto $m$ divide $r$ .