¿Es posible encontrar un ejemplo de dominio integral $D$ y un par de elementos distintos de cero $x$ y $y$ en $D$ tal que $\text{lcm}(zx, zy)$ existe para algún elemento distinto de cero $z$ en $D$ pero $\text{lcm}(x, y)$ ¿no?
Definición de mínimo común divisor (mcm): Sea $a$ y $b$ sean elementos de un anillo conmutativo $R$ . Un múltiplo común de $a$ y $b$ es un elemento $m$ de $R$ tal que existen elementos $x$ y $y$ de $R$ tal que $ax = by = m$ . Mínimo común múltiplo de $a$ y $b$ es un múltiplo común $m$ de $a$ y $b$ que es mínimo en el sentido de que para cualquier otro múltiplo común $n$ de $a$ y $b$ , $n=zm$ para algunos $z$ en $R$ .
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@mvw Lo he añadido a la pregunta.
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Hasta ahora has hecho tres preguntas sobre lcm/gcd. Eso no es un problema, pero estaría bien que proporcionaras algo de contexto al respecto. ¿Qué estás tratando de lograr en general?
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@quid Nada. Es que ahora no tengo nada mejor que hacer.
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@quid Hace unos días descubrí accidentalmente un error en mis viejos apuntes de la asignatura de álgebra abstracta que cursé cuando era estudiante de licenciatura. Ponía: en un dominio integral, $\gcd(x, y)=\gcd(x, z)=1$ implica $\gcd(x, yz)=1$ . La conferencia se equivocó porque utilizó la identidad $\gcd(zx, zy)=z\gcd(x, y)$ sin comprobar la existencia de $\gcd(zx, zy)$ . Como últimamente no tengo nada que hacer, he decidido explorar un poco este tema.
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Este tipo de comentario era exactamente el tipo de información que estaba buscando. Gracias, me ayuda a contextualizar las preguntas.