Cómo probar $\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{3}+y^{3}}$ no existe

Question

He intentado utilizar coordenadas polares y varias funciones polinómicas, pero todas convergen al valor de $0$ ; comprobando en Wolfram Alpha, sin embargo, confirma que el límite no existe. Cómo debo enfocar este tipo de preguntas y no quedarme atascado? $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^{2}y^{2}}{x^{3}+y^{3}} $$

Answer 1

Tenemos que

• $x=0 \implies f(0,y)=0$
• $ x=t \quad y=-t+t^2 \quad t\to 0$ $$\implies\frac{x^2y^2}{x^3+y^3}= \frac{t^2(t^2-2t^3+t^4)}{t^3-t^3+3t^4-3t^5+t^6}=\frac{1-2t+t^2}{3-3t+t^2}\to \frac13$$

por lo que el límite no existe.

Answer 2

SUGERENCIA: Toma, por ejemplo, $y^3=-x^3+x^6$ . Lo más fácil es demostrar ahora que $$ \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \left(\frac{x^{2}y^{2}}{x^{3}+y^{3}}\right)^3 $$ no existe.