¿Cómo pueden ser únicas las soluciones de las ecuaciones de movimiento si parece que se puede llegar al mismo estado a través de diferentes historias?

Question

Supongamos que tenemos un recipiente, una jarra, una lata o lo que sea, que tiene un agujero en su extremo. Si hubiera agua en su interior, mediante una ecuación diferencial podríamos calcular el tiempo en el que el recipiente se vacía.

Pero aquí está la cosa: a través de la ecuación diferencial, con condición inicial, podré saber todo sobre el contenedor: presente pasado y futuro.

Pero supongamos que llego y encuentro el contenedor vacío. Entonces

• Podría haber estado siempre vacío

• Podría haber sido vaciado en el pasado antes de mi llegada

Esto significa que no soy capaz de conocer, en realidad, toda su historia. Pasado, presente y futuro.

Así que parece que hay un absurdo en afirmar que la solución de la ecuación diferencial es única. ¿En qué me equivoco?

Answer 1

Te falta un conocimiento completo del sistema por el que preguntas.

Sólo sabes del frasco. Y si el sistema completo es el frasco, entonces sí, siempre ha estado vacío porque no hay nada que interactúe con él.

Pero si supones que hay cosas que pueden estar en el tarro, ahora se añaden al sistema. Ese charco de agua en el suelo, ¿estaba dentro de la jarra? Ahora, conocer sólo el estado de la jarra significa que tu conocimiento es incompleto. Ahora tenemos que incluir el estado del charco de agua. También el suelo sobre el que está sentado y el aire de la habitación.

He aquí un ejemplo más sencillo. Imagina una caja inmóvil en el espacio. Un frasco está flotando en el centro. También hay bolas rebotando en la caja. El tarro está inmóvil respecto a la caja. ¿Siempre ha sido así? No podemos saberlo sólo conociendo el estado del tarro. Para responder a esta pregunta, tendríamos que conocer el estado del tarro y de todo aquello con lo que haya podido interactuar: las pelotas que rebotan y las paredes. Una vez que conozcamos el estado completo de todo lo que hay en el sistema, la caja, las pelotas, el tarro y cómo chocan, podremos conocer la historia del tarro.

Answer 2

Como has observado, para resolver la ecuación diferencial que describe el sistema necesitas condiciones iniciales. La condición "la jarra está vacía" no tiene una solución única sin especificar las condiciones.

Answer 3

La pregunta es: ¿qué grado de precisión tienen sus ecuaciones diferenciales? Las ecuaciones diferenciales precisas deberían describir también el estado del agua después de salir del recipiente, y tales ecuaciones pueden ser reversibles. Así que, además del contenedor vacío, tendrías el agua que cae.

Answer 4

Esto no es diferente a decir "He encontrado una piedra en el suelo. Tal vez se cayó, tal vez se detuvo rodando". ¿Implica eso una falta de unicidad en las ecuaciones del movimiento?

La respuesta es no. Matemáticamente, se obtiene la unicidad en (algunas) ecuaciones diferenciales cuando se fijan ciertas condiciones iniciales. En el caso de las ecuaciones de movimiento, serían la posición y la velocidad iniciales.

Answer 5

Hay que hacer un pequeño ajuste. No necesitas condiciones iniciales, necesitas condiciones de contorno. Para los sistemas conservadores, tener una instantánea en el tiempo es suficiente, pero tienes un sistema que está perdiendo masa intencionadamente. Cuando dejas que esta masa abandone el sistema, se lleva consigo la información que necesitabas.

Si se tuvieran las condiciones de contorno, incluida toda la información sobre el agua que sale a lo largo del tiempo, se podría elaborar el historial que se busca.

Por supuesto, incluso en este caso, vale la pena considerar casos de esquina divertidos como Cúpula de Norton . La discusión sobre la validez de este modelo es matizada, hasta el día de hoy.