- Cómo Integrarse

Question

Quiero saber cómo integrar esta función he tratado muchas cosas muchas sustituciones pero ninguno funciona.

Incluso intento ampliar el numerador por $\sin3x$ y $\cos3x$ propiedades e intentó convertir potencias mayores a los ángulos múltiples

Answer 1

$$ \int \frac{\sin {3x} + \cos{3x}}{ \sin^3 x + \cos^3 x } dx\ =\int \frac{3\sin x -4\sin^3x+4\cos^3x-3\cos x}{ \sin^3 x + \cos^3 x } dx=\int \frac{(\cos x -\sin x)(1+ 4\sin x \cos x)}{ (\sin x + \cos x)(1- \sin x\cos x) } dx=\int \frac{(\cos^2 x -\sin^2 x)(1+ 4\sin x \cos x)}{ (\sin x + \cos x)^2(1- \sin x\cos x) } dx=\int \frac{\cos 2x (1+ 2\sin 2x)}{ (1+ \sin 2x)(1- 0.5\sin 2x) } dx=0.5\int \frac{1+ 2\sin 2x}{ (1+ \sin 2x)(1- 0.5\sin 2x) } d(\sin 2x)$ $ Espero que puede acabar aquí.

Answer 2

Uso\begin{equation}\cos\left(3x\right)=\cos^3\left(x\right)-3\cos\left(x\right)\sin^2\left(x\right) \end{equation} y \begin{equation} \sin\left(3x\right)=3\cos^2\left(x\right)\sin\left(x\right)-\sin^3\left(x\right) \end{equation} acompañado\begin{align} \sin\left(x\right)&=\dfrac{\tan\left(x\right)}{\sec\left(x\right)} \ \cos\left(x\right)&=\dfrac{1}{\sec\left(x\right)} \ \sec^2\left(x\right)&=\tan^2\left(x\right)+1 \end {Alinee el} usted conseguirá\begin{equation} {\int}{{\sec^2\left(x\right)}}{{\left(-\dfrac{\tan^3\left(x\right)+3\tan^2\left(x\right)-3\tan\left(x\right)-1}{\tan^5\left(x\right)+\tan^3\left(x\right)+\tan^2\left(x\right)+1}\right)}}\,\mathrm{d}x \end{equation} uso el cambio de la variable $u = \tan (x)$ $dx = \frac{1}{\sec^2 (x)} du$, lo que recibirá \begin{equation} {\int}\dfrac{u^3+3u^2-3u-1}{u^5+u^3+u^2+1}\,\mathrm{d}u \end{equation} pero\begin{equation} {\int}\dfrac{u^3+3u^2-3u-1}{u^5+u^3+u^2+1}\,\mathrm{d}u ={\int}\dfrac{u^3+3u^2-3u-1}{\left(u+1\right)\left(u^2+1\right)\left(u^2-u+1\right)}\,\mathrm{d}u \end{equation} ahora realizar fracción parcial descomposición, conseguimos\begin{equation} {\int}\dfrac{u^3+3u^2-3u-1}{u^5+u^3+u^2+1}\,\mathrm{d}u ={\int}\left(\dfrac{10u-5}{3\left(u^2-u+1\right)}-\dfrac{4u}{u^2+1}+\dfrac{2}{3\left(u+1\right)}\right)\mathrm{d}u \end{} ecuación} que es\begin{equation} {\int}\dfrac{u^3+3u^2-3u-1}{u^5+u^3+u^2+1}\,\mathrm{d}u =\dfrac{5}{3}\underbrace{{}{\int}\dfrac{2u-1}{u^2-u+1}\,\mathrm{d}u}{\ln \vert u^2-u+1 \vert}- \underbrace{{\int}\dfrac{u}{u^2+1}\,\mathrm{d}u}{\dfrac{\ln\vert u^2+1\vert}{2}}+ {{\dfrac{2}{3}}} \underbrace{{\int}\dfrac{1}{u+1}\,\mathrm{d}u}_{\ln\vert u+1\vert} \end{equation}

Finalmente, enchufe trasero $u = \tan x$.

Answer 3

$$I=\int \frac{\sin {3x} + \cos{3x}}{ \sin^3 x + \cos^3 x } dx=\cdots=\int \frac{(\cos x -\sin x)(1+ 4\sin x \cos x)}{ (\sin x + \cos x)(1- \sin x\cos x) } dx$$

$\dfrac{d(\sin x+\cos x)}{dx}=\cos x-\sin x$

Si elegimos $\sin x+\cos x=u, 2\sin x\cos x=u^2-1$

$$I=2\int\dfrac{1+2(u^2-1)}{u(2-(u^2-1))}du$$

Ahora uso fracción parcial descomposición, $$\dfrac{2u^2-1}{u(3-u^2)}=\dfrac Au+\dfrac{Bu+C}{3-u^2}$ $

$\implies3A=-1,B-A=2$