Existencia de raíces reales de un polinomio.

Question

Supongamos que tenemos un $P(z) = \sum_{i = 0}^{m} a_{i}z^{i}$ y este polinomio tiene $m$ verdaderas raíces. ¿Es cierto o no que $P(z+qi) + P(z-qi)$ también tiene $m$ ¿raíces reales?

Sigo sin encontrar contraejemplos. ¿Alguna pista?

Answer 1

Supongamos que $P(z)=(z-r_1)\ldots(z-r_m)$ . Sea $z$ sea una raíz de $P(z+qi)+P(z-qi)$ que no es real y suponga $q>0$ (la prueba de $q<0$ es similar). Escriba a $z=x+iy$ con $y> 0$ (el otro caso se deduce utilizando $\bar z$ en lugar de $z$ ). Se tiene $$(z-r_1+qi)\ldots (z-r_m+qi)=-(z-r_1-qi)\ldots (z-r_m-qi),$$ y así $$\|z-r_1+qi\| \ldots \|z-r_m+qi\|=\|z-r_1-qi\|\ldots \|z-r_m-qi\|.$$ Mostramos $\|z-r_k+qi\|<\|z-r_k-qi\|$ para derivar una contradicción. Obsérvese que $$\|z-r_k+qi\|^2=\|(x-r_k+(y+q)i\|^2=(x-r_k)^2+(y+q)^2>(x-r_k)^2+(y-q)^2 \geq \|z-r_k-qi\|^2.$$