¿Por qué nos factor polinomios de la forma de que hacer?

Question

Hoy en día, yo estaba trabajando en algunas límite práctica de problemas y encontré dos que me habían factor.

El primer límite tenido este polinomio en el denominador: $$x^2+2x-15$$

que me factor a: $$(x-3)(x+5)$$

El segundo límite tenido este polinomio en el numerador: $$2z^2-17z+8$$

que me factor a: $$(2z-1)(z-8)$$

Como yo estaba mirando por encima de estos problemas, me di cuenta de que no sé por qué polinomios factor de abajo como esta. Yo era sólo enseña qué hacer cuando vengo a través de cada tipo. Cuando me factor de abajo de las respuestas "sentido", pero yo no puedo ver una razón por la que hacer como yo lo veo desde mi perspectiva actual. Puede alguien arrojar algo de luz sobre esto? Hay pruebas para cosas como esta?

Answer 1

Tal vez usted está notando la farola efecto:

Un policía ve a un hombre borracho buscando algo debajo de una farola y le pregunta lo que el borracho se ha perdido. Él dice que él perdió sus llaves y ambos se ven bajo la farola juntos. Después de unos minutos, el policía le pregunta si está seguro de que lo han perdido, aquí, y el borracho le contesta, no, y que perdió en el parque. El policía le pregunta por qué él está buscando aquí, y el borracho le contesta, "este es un lugar donde la luz es."

¿Cuál es el punto de factorización de un polinomio? Es para deshacer el polinomio de la multiplicación. Nuestra farola es de nuestro conocimiento del polinomio de la multiplicación. ¿Cómo podemos obtener una ecuación cuadrática que podemos factor de "bien" (es decir, más de los enteros)? Como este: $$ (ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd $$ Así que si tenemos una ecuación cuadrática que podemos factor, se debe ser capaz de encontrar cuatro números de $a,b,c,d$ tal que $ac$ es el coeficiente de $x^2$, $bd$ es el término constante, y $ad + bc$ es el coeficiente de $x$.

Esa es la raíz última de las técnicas aprendidas para la factorización de los diferentes tipos de cuadráticas sobre los enteros. Hay muchos cuadráticas que no están bajo la farola, por así decirlo, como$x^2 - 2$$x^2 + 1$; en la ampliación del círculo de luz, nos reunimos con los números reales, la fórmula cuadrática, y los números complejos.

Answer 2

Considere el polinomio $Ax^2+Bx+C$

$$(ax+b)(cx+d)=acx^2+(bc+ad)x+bd$$

Comparando los coeficientes, $A=ac, C=bd$ y queremos que les satisface $bc+ad=B$.

Por lo tanto nos factor $A$ $C$ y encontrar factores y tal que $bc+ad=B$.

Answer 3

Vea Teorema fundamental de álgebra https://en.wikipedia.org/wiki/Fundamental_theorem_of_algebra

Nota sobre 2 variables o si desea factor sobre números enteros sólo esto ya no se sostiene