Teorema del valor intermedio mejorado

Question

Supongamos que$f\colon [a,b] \to \mathbb{R}$ es una función continua con$f(a)<0$,$f(b)>0$. ¿Se puede probar que existe$s_1\leq s_2$ y$\epsilon>0$ tal que$f(s)=0$ para todos$s\in[s_1,s_2]$, mientras que$f(s)<0$ para todos$s\in [s_1-\epsilon, s_1)$ y$f(s)>0$ para todos $s\in (s_2,s_2+\epsilon]$?

Si no es así, ¿qué ocurre si se supone que$f$ es$C^1$ o sin problemas?

Answer 1

Contraejemplo

Deje $f(x) = x^2 \sin^2(1/x) \operatorname{sign}(x)$ $f(0)=0$ (trama). Para $x<0$ la función oscila entre el$0$, y los valores negativos, y para $x>0$ oscila entre el $0$ y valores positivos. En $x=0$ la función cruza el $x$-eje, pero tiene ceros arbitrariamente cerca de $x=0$ así que no hay ningún intervalo de $(-\epsilon,0)$ que $f$ es estrictamente negativo, y no hay intervalo de $(0, \epsilon)$ que $f$ es estrictamente positivo.

Answer 2

¿Sabe usted que el conjunto de Cantor? Tal vez usted puede construir una función continua $f$ $[0,1]$ por lo que:

$f$ es positivo en $\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)$
$f$ es negativo en el $\left(\frac{1}{9},\frac{2}{9}\right)$ $\left(\frac{7}{9},\frac{8}{9}\right)$
$f$ es positivo en $\left(\frac{1}{27},\frac{2}{27}\right)$ y $\left(\frac{7}{27},\frac{8}{27}\right)$ y $\left(\frac{19}{27},\frac{20}{27}\right)$ y $\left(\frac{25}{27},\frac{26}{27}\right)$
y así sucesivamente, y, finalmente, $f$ cero en el resto (el conjunto de Cantor).

A continuación, tome $a=1/6, b=1/2$.

Answer 3

Esto es posible si $f$ no necesita a desaparecer en $[s_1,s_2]$, e imposible si es necesario.

En primer lugar se considera el caso donde $f$ no necesariamente desaparecen en $[s_1,s_2]$. Deje $Z=f^{-1}(0)$ el conjunto de ceros de $f$$[a,b]$. Por el teorema del valor intermedio $Z\neq\emptyset$.

Podemos dejar que la $s_1=\min Z$$s_2=\max Z$. El conjunto $Z$ es un sistema cerrado (y compacto), por lo que el mínimo y máximo de existir. Si no estás convencido, reemplazar mínimo y máximo por infimum y supremum y demostrar que se debe de hecho ser en $Z$ por la continuidad de $f$.

Tenemos $a<s_1\leq s_2<b$ desde $f(a)\neq0\neq f(b)$. En $[a,s_1)$ la función de $f$ sólo toma valores negativos. Si hubo un positivo o un valor distinto de cero, el teorema del valor intermedio llevaría a una contradicción con minimality de $s_1$. Del mismo modo $f$ es positivo en $(s_2,b]$. Si usted elige $\epsilon=\frac12\min(s_1-a,b-s_2)$, las propiedades deseadas son satisfechos aparte de $f|_{[s_1,s_2]}\equiv0$.

Sin embargo, el requisito de que $f$ se desvanece entre el $s_1$ $s_2$ generalmente no es posible satisfacer las necesidades para las funciones lisas. Ahora ya no podemos simplemente elija $s_1=\min Z$ $s_2=\max Z$ — y, de hecho, hay funciones para las que la elección no funciona. Para cada subconjunto cerrado $C\subset(a,b)$ no es una función suave $f\colon[a,b]\to\mathbb R$, de modo que $f(a)<0<f(b)$$f^{-1}(0)=C$. (Ver este MathOverflow pregunta. No voy a entrar en detalles aquí.)

Ahora si $C$ es tal que todos los puntos son de acumulación de puntos, pero el interior está vacío, entonces sus propiedades deseadas no pueden ser satisfechos. Desde $C$ ha vacío interior, necesariamente, ha $s_1=s_2$. (Por supuesto,$[s_1,s_2]\subset C$, lo $s_1<s_2$ implica que el $C$ puntos del interior.) Los ceros se acumulan en $s_1=s_2\in C$, lo que para cualquier $\epsilon>0$ hay ceros en $(s_1-\epsilon,s_1]$ o $[s_2,s_2+\epsilon)$.

En otra nota, su afirmación es verdadera si $f$ es real analítica. Ahora hay un número finito de ceros y están aislados. (Los ceros de un no-constante de la analítica de la función, no se puede acumular.) El aislamiento implica $s_1=s_2$. Este cero debe ser tal que $f$ es negativa a la izquierda y los positivos a la derecha de la misma (cerca del punto).

Los ceros $z_1<z_2<\dots<z_n$ $f$ split $(a,b)$ en los subintervalos $(a,z_1),(z_1,z_2),\dots$. En cada uno de estos intervalos de $f$ es positivo o negativo. Hay dos intervalos adyacentes de modo que $f<0$ en el izquierdo y $f>0$ en el derecho. (Un cero tiene grado impar.) A continuación, el cero $z$ entre estos intervalos va a trabajar como su $z=s_1=s_2$. Usted puede también elegir explícitamente $z=\inf\{x\in[a,b];f(x)>0\}$ si quieres. Si desea más detalles sobre esto, recomiendo pedir una pregunta de seguimiento. Las propiedades detalladas de la real funciones analíticas que sería demasiado de un pozo de re-entrada aquí.

Answer 4

Edit: ahora veo que haber un intervalo de alrededor de los extremos de la puesta a cero es demasiado fuerte. El reclamo no es cierto para funciones continuas.

Deje $g:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ ser una función continua con la puesta a cero $\{\frac{1}{n}\mid n>1\}\cup\{0\}$. A continuación, vamos a $h(x)=|g(x)|$. Por lo tanto $h$ es no negativa, y tiene el mismo ajuste a cero como $g$. Si $f:[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}$ está dado por $$ f(x) = \begin{cases}-h(-x)&x\le0\\h(x)&x\ge0\end{cases}$$ Entonces no satisfacen la conclusión del problema.

Respuesta incorrecta a continuación:

Ah veo que $s_1$ igual $s_2$, esto es cierto.

Deje $s_1$ ser el máximo de la clausura de la $\{s\mid f(s)<0\}$. A continuación, $f(s_1)=0$ mientras $f(x)\ge0$$x>s_1$.

Ahora vamos a $s_2$ ser el máximo de la componente conectado de $\{s\mid f(s)=0\}$ contiene $s_1$. Se puede ver cómo terminar?

Nota cuán importante compacidad es en este argumento.