Upper Bound vs. Least Upper Bound

Question

Estoy leyendo Rudin los Principios de Análisis Matemático con el fin de prepararme para mi primer curso de Análisis Real tengo la intención de tomar este otoño. El libro acaba de definir lo que es un límite superior y, a continuación, se define supremum/ menos el límite superior como:

Supongamos $S$ es un conjunto ordenado, con $E$ como un subconjunto de a $S$ donde $E$ está delimitado por encima. Supongamos que existe una $\alpha \in S$ con las siguientes propiedades:

A) $\alpha$ es un límite superior de $E$.

B) Si $\gamma < \alpha$ $\gamma$ no es una cota superior de a $E$.

No entiendo la diferencia entre el límite superior y menos de límite superior. Si alguien pudiera explicar la diferencia entre los dos y posiblemente poner un ejemplo, sería muy apreciado. Gracias.

Answer 1

Cada límite superior mínimo es un límite superior, sin embargo, el límite superior mínimo es el número más pequeño que sigue siendo un límite superior. Ejemplo: toma el conjunto$(0,1)$. Tiene$2$ como un límite superior, pero claramente el límite superior más pequeño que el conjunto puede tener es el número$1$ y, por lo tanto, es el límite superior mínimo.

Answer 2

Tal vez te gusta esta definición mejor?

Deje $A$ ser no vacío. Decimos que $\alpha$ es el mínimo límite superior de $A$ si

$(1)$ Es una cota superior de a $A$, es decir, si $x\in A$; a continuación,$x\leq \alpha$.

$(2)$ Si $\beta$ es cualquier otra cota superior de a $\alpha\leq \beta$. Es decir, $\alpha$ es el menor de todos los límites superiores de $A$.

Como se puede ver el l.u.b. tiene la singular propiedad de $(2)$. Por qué la única? Porque si $\gamma$ es otro l.u.b., por definición, debemos tener tanto $\alpha\leq \gamma$$\gamma\leq \alpha$, pero esto significa que debemos tener $\alpha=\gamma$. Así que l.u.b.s, cuando existen, son únicos.