Prueba

Question

Lo resolví así:$$\langle (f^*)^*(v),w \rangle=\langle v,f^*(w)\rangle=\langle f(v),w\rangle$ $ Las notas de mi clase dieron una prueba con algunos pasos más. Ahora no estoy seguro, tal vez hice algo.

aquí$f^*$ denota el adjunto del mapa lineal$f$.

Answer 1

Una vez que tiene$\langle (f^*)^*(v),w \rangle=\langle f(v),w\rangle$ para todos$v$ y$w$, aún necesita hacer un poco más para mostrar$(f^*)^* = f$. Primero reescríbelo como$\langle ((f^*)^* - f)(v),w \rangle=0$, que es verdadero para todos$v$ y$w$. En particular, es cierto para$w = ((f^*)^* - f)(v)$. Entonces obtenemos$\langle ((f^*)^* - f)(v),((f^*)^* - f)(v) \rangle=0 \implies ((f^*)^* - f)(v) = 0$ para todos$v$. Y entonces $(f^*)^* - f = 0 \implies (f^*)^* = f$.

Answer 2

A partir de su argumento, puede concluir que, para$y = (f^{\ast})^{\ast}(v) - f(v)$, uno tiene $$ \ langle y, w \ rangle = 0 \ quad \ forall w $$ Y desea concluir que$y = 0$. Para esto, necesita saber que estos funcionales lineales $$ \ varphi_w: x \ mapsto \ langle x, w \ rangle $$ puntos separados en su espacio vectorial. Para esto necesitarás el teorema de representación de Riesz y la versión espacial de Hilbert del teorema de Hahn-Banach. ¿Es eso lo que usa tu libro?

Answer 3

Supongo que estamos trabajando en un espacio de producto interno finito dimensional V. Lo que le falta a su prueba es el hecho bien conocido de que si$f:V \to V$ y$g:V \to V$ son transformaciones lineales con$<f(v),w>=<g(v),w>$ para todos$v,w \in V$, entonces $f=g$.
Para probar este hecho, permita que$\{e_1, ..., e_n\}$ sea una base ortonormal de$V$ (puede construir uno mediante el proceso de Gram-Schmidt). Entonces, para cada$v \in V$, tenemos la identidad$v= \sum_{i=1}^n<v,e_i>e_i$. En particular,$$f(e_j) = \sum_{i=1}^n <f(e_j), e_i>e_i = \sum_{i=1}^n<g(e_j),e_i>e_i = g(e_j)$ $ Thus, $% f$ and $ g $ acepta en base, por lo que son iguales.