Use MVT para probar que$1-\cos x<x^2$ para$x\neq 0$

Question

Uso MVT para demostrar que $1-\cos x<x^2$, $x\neq 0$

$$1-\cos x<x^2\implies 1<x^2+\cos x$$ Deje $f(x)=x^2+\cos x$,

Observe que $f(-x)=(-x)^2+\cos(-x)=x^2+\cos(x)=f(x) \implies f$ es simétrica sobre el eje. Esto es suficiente para mostrar que $x^2+\cos x>1$ $x>0$ debido a esta simetría.

$x>0 \implies (0,x)$

Desde $x^2$ $\cos x$ es derivable (y por lo tanto continua) $\forall x\in \mathbb R$, MVT rendimientos que en $(0,x)$, $\exists c \in (0,x)$ tal que $$\frac{(x^2+\cos x)-(0^2-\cos 0)}{x-0}=2c-\sin c$$ $$\frac{x^2+\cos x-1}{x}=2c-\sin c$$ $-1\le\sin c\le1 \implies -1\le-\sin c\le1 \implies 2c-1\le 2c-\sin c\le 2c+1$ $$\frac{x^2+\cos x-1}{x}\ge 2c-1$$ Y ahora estoy atascado porque no puedo obtener $x(2c-1)>0$

Es mi prueba de mal en algún lugar?

ACTUALIZACIÓN: Gracias a todos los que dieron su entrada. Me las arreglé para resolver es el uso de $f(x) = 1-\cos x$ directamente. Sin embargo, todavía estoy curioso en cuanto a por qué mi inicial, el método falla? hay algo que he pasado por alto?

Answer 1

Más fácil:

Dado que $ \ cos '(x) = - \ sin (x) $, $ \ cos (x) - \ cos (0) = - \ int_0 ^ x \ sin (t) dt \ ge - \ int_0 ^ xt dt = - \ frac {x ^ 2} {2} $ so $ 1- \ cos (x) \ le \ frac {x ^ 2} {2} <x ^ 2 $ para$x \ne 0$.

Para mostrar que$\sin(x) \le x$, comienza con $ \ sin '(x) = \ cos (x) $. entonces $ \ sin (x) = \ sin (x) - \ sin (0) = \ int_0 ^ x \ cos (t) dt \ le \ int_0 ^ x dt = x $ desde$\cos(t) \le 1$.

Answer 2

Su límite no es lo suficientemente bueno si desea continuar de esta manera. Una solución es usar un límite mejor que$-1≤\sin c ≤ 1$. Tu límite te da$2c-\sin c>0$ si$c>1$. Para$c≤1$, sabemos que$$\sin c - 0 = c \cos c'$$ for some $ c '∈ (0, c)$ by MVT. Also note that $ | \ cos c' | \ leq 1$. Therefore $ - \ sin c ≥ -c$, so $ 2c - \ sin c ≥ 2c - c = c> 0 $, que comprueba el resultado.

En resumen, realizamos la mejora mejorada por pieza$$ 2c- \sin c ≥ \begin{cases} 2c-1 & c>1 \\ c & 0<c<1 \end{cases} ≥ c > 0$ $

De hecho, ni siquiera necesitamos ese$c≤1$, solo ese$c>0$.