Ejemplos de mapas lineales de derivación

Question

De Humphreys Introducción a las álgebras de Lie y a la teoría de representaciones :

Por un $F$ -álgebra (no necesariamente asociativo) nos referimos simplemente a un espacio vectorial $U$ en $F$ dotado de una operación bilineal $U\times U\rightarrow U$ que suele denotarse por yuxtaposición (a menos que $U$ es un álgebra de Lie, en cuyo caso utilizamos siempre el paréntesis). Por a derivación de $U$ nos referimos a un mapa lineal $\delta:U\rightarrow U$ cumpliendo la conocida regla del producto $\delta(ab)=a\delta(b)+\delta(a)b$ .

Me pregunto cuál es un ejemplo de derivación. Supongamos que tomo $U=\mathbb{R}^n$ . Claramente el mapa que lleva todo a $0$ es una derivación. El mapa $\delta(x)=kx$ no es una derivación para $k\neq 0$ porque entonces $kab\neq kab+kab$ . ¿Cuáles son otros mapas lineales que satisfacen esa regla del producto?

Answer 1

Como comenté anteriormente, no estoy seguro de qué $\mathbb{R}$ -estructura de álgebra a la que te refieres en $\mathbb{R}^n$ . El producto cruzado dota $\mathbb{R}^{3}$ con la estructura de un $\mathbb{R}$ -pero esto no es aplicable en dimensiones superiores. Puedes, sin embargo, considerar los cuaterniones, los octoniones, etc., como si éstos proporcionaran $\mathbb{R}$ -álgebras. La siguiente respuesta proporciona algunos ejemplos de derivaciones y proporciona algo de práctica con la noción.

El anillo polinómico $\mathbb{R}[x]$ es un $\mathbb{R}$ -álgebra. Una derivación $\delta:\mathbb{R}[x]\to \mathbb{R}[x]$ viene dada por la regla $\delta(f)=\frac{df}{dx}$ . (De hecho, este ejemplo es la motivación inicial para la definición de "derivación"). El conjunto de derivaciones de un $\mathbb{F}$ -es una $F$ -espacio vectorial. En particular, cualquier múltiplo escalar de $\delta$ es de nuevo una derivación en el ejemplo de las dos primeras frases de este párrafo.

En general, una derivación $\delta$ de un $F$ -álgebra $U$ tiene las siguientes propiedades:

(1) $\delta(1)=0$ si $1$ es la unidad de $U$ .

(2) $\delta(u^n)=n\delta(u^{n-1})$ para todos $u\in U$ .

Ejercicio 1 : Prueba (1) y (2) .

Ejercicio 2 : Clasificar todas las derivaciones del $\mathbb{R}$ -álgebra $\mathbb{R}[x]$ . ( Sugerencia : Una derivación $\delta$ de $\mathbb{R}[x]$ viene determinada por $\delta(x)$ . ¿Por qué? Además, utiliza Ejercicio 1 .)

Espero que esto te ayude y te sirva para practicar el concepto de derivación.