Encontrar el ángulo subtendido por círculos superpuestos

Question

Posibles Duplicados:
La solución de $2x - \sin 2x = \pi/2$ $0 < x < \pi/2$

Necesito un pequeño empujón para este problema. Me he dado cuenta de todo, pero el último bit(si bien es el más importante!).

Dos igualdad de círculos de radios $a$ se cruzan y el común de acordes subtienda un ángulo de $2\theta$ radianes en el centro. Encontrar una expresión para el área de la región común a los dos círculos.

Si esta área es igual a la mitad del área del círculo, estimar el valor de $\theta$ que satisface esta ecuación

Usando el sector de la fórmula del área, me encontré con el área del menor segmento = $\dfrac{1}{2}a^2(2\theta - \sin 2\theta)$

Por lo tanto el área de la región de traslape = $a^2(2\theta - \sin 2\theta)$

Debido a que esta área es la mitad del círculo, $a^2(2\theta - \sin 2\theta) = \dfrac{1}{2}\pi a^2$

Simplificando aún más, que yo tengo,

$\sin 2\theta = 2\theta - \dfrac{\pi}{2}$

Eso es lo que he conseguido. No sé cómo resolver esta ecuación. Pueden ustedes ayudar? Gracias de nuevo.

Answer 1

Creo que el punto de la cuestión es que se le pide calcular el valor. Sugiero que se parcela el % de dos curvas $\sin 2\theta$y $2\theta - \dfrac{\pi}{2}$ y estimación donde entrecruzan.

Answer 2

Bien su trabajo hasta el momento implica:

$\theta = \dfrac{\sin 2\theta}{2}+ \dfrac{\pi}{4}$

Y sabes que $\sin 2\theta$ es limitado.

Se pide estimar... así que podría utilizar un método iterativo, o un método gráfico, o (probablemente messier) ampliar la serie $\sin 2\theta$...